寻求满足S⊂S^S的所有集合S及构造性思路探讨

最近我一直在研究集合论里的一个问题：找出所有满足$S \subset S^{{S}$的集合$S$，这里的$S}{S}$指的是所有从$S$到$S$的映射构成的集合。

先从最显然的解说起：

• 空集$\emptyset$是一个 trivial 的解：因为$\emptyset$和$\emptyset^{\emptyset}$中都没有任何元素，二者完全相等，自然满足$\emptyset \subset \emptyset^{\emptyset}$。

不过除了空集，我们还可以构造非平凡的例子，思路是通过“迭代升级”映射集合来实现：

• 先从实数集$\mathbb{R}$出发，定义函数$\tilde{x}{1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，使得对任意$t \in \mathbb{R}$，都有$\tilde{x}{1}(t) = xt$。接着我们构造集合$\tilde{\mathbb{R}}{1} = {\tilde{x}{1} \mid x \in \mathbb{R} }$——这个集合里的每个元素都是$\mathbb{R}$到自身的线性映射，对应一个实数$x$。
• 接下来基于$\tilde{\mathbb{R}}{1}$，定义函数$\tilde{x}{2} : \tilde{\mathbb{R}}{1} \to \tilde{\mathbb{R}}{1}$，满足对任意$\tilde{t}{1} \in \tilde{\mathbb{R}}{1}$，$\tilde{x}{2}(\tilde{t}{1}) = \tilde{(xt)}{1}$（这里的$\tilde{t}{1}$对应实数$t$生成的映射）。然后构造集合$\tilde{\mathbb{R}}{2} = {\tilde{x}{2} \mid x \in \mathbb{R} }$，这个集合里的元素都是$\tilde{\mathbb{R}}_{1}$到自身的映射。
• 按照这个逻辑，我们可以用归纳法继续迭代构造：对任意正整数$n$，$\tilde{\mathbb{R}}{n}$中的每个元素$\tilde{x}{n}$都是从$\tilde{\mathbb{R}}{n-1}$到自身的映射，对应实数$x$的第$n$层“升级”版本，而集合$\tilde{\mathbb{R}}{n} = {\tilde{x}_{n} \mid x \in \mathbb{R} }$。

这样构造出来的每个$\tilde{\mathbb{R}}{n}$都满足$\tilde{\mathbb{R}}{n} \subset (\tilde{\mathbb{R}}{n})^{{\tilde{\mathbb{R}}_{n}}$：我们可以把$\tilde{\mathbb{R}}_{n}$中的每个元素$\tilde{x}_{n}$对应到$(\tilde{\mathbb{R}}_{n})}{\tilde{\mathbb{R}}{n}}$中的一个映射——比如将任意$\tilde{y}{n} \in \tilde{\mathbb{R}}{n}$映射为$\tilde{(xy)}{n}$，这样就完成了从$\tilde{\mathbb{R}}{n}$到$(\tilde{\mathbb{R}}{n})^{\tilde{\mathbb{R}}{n}}$的嵌入，满足子集关系。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者PLink