关于同态映射合成的反向问题：满足g∘f=h时g是否为同态？

好问题！直接给结论：不一定。我们可以通过具体反例来验证，再聊聊什么时候这个结论能成立。

举个群论里的简单例子：

• 设 ( A = (\mathbb{Z}, +) )（整数加法群），( B = (\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}, +) )（两个整数群的直和，加法按分量进行），( C = (\mathbb{Z}, +) )。
• 定义同态 ( f: A \to B ) 为 ( f(n) = (n, 0) )，显然这是加法同态：( f(n+m)=(n+m,0)=(n,0)+(m,0)=f(n)+f(m) )。
• 定义同态 ( h: A \to C ) 为恒同映射 ( h(n)=n )，这也是加法同态。

现在构造一个映射 ( g: B \to C )：
[
g(a,b) =
\begin{cases}
a & \text{如果 } b=0 \
a + 1 & \text{如果 } b \neq 0
\end{cases}
]

先验证 ( g \circ f = h )：对任意 ( n \in A )，( g(f(n))=g(n,0)=n=h(n) )，满足条件。但 ( g ) 不是同态：
取 ( b_1=(0,1) )，( b_2=(0,1) )，则 ( b_1 + b_2=(0,2) )。
计算 ( g(b_1 + b_2)=g(0,2)=0+1=1 )，而 ( g(b_1)+g(b_2)=(0+1)+(0+1)=2 )，显然 ( 1 \neq 2 )，不满足同态的加法保持性质。

这就说明，即使 ( f ) 和 ( h ) 都是同态，且 ( g \circ f = h )，( g ) 也不一定是同态。

有两种常见的情况能保证 ( g ) 是同态：

• 当 ( f ) 是满同态时：也就是 ( f(A)=B )，每个 ( B ) 中的元素都能写成 ( f(a) ) 的形式（( a \in A )）。
  证明思路：对任意 ( b_1,b_2 \in B )，存在 ( a_1,a_2 \in A ) 使得 ( f(a_1)=b_1 )，( f(a_2)=b_2 )。那么：
  [
  g(b_1 + b_2) = g(f(a_1)+f(a_2)) = g(f(a_1+a_2)) = h(a_1+a_2) = h(a_1)+h(a_2) = g(f(a_1))+g(f(a_2)) = g(b_1)+g(b_2)
  ]
  完全满足同态的定义。这个结论对群、环、幺半群等各种代数结构都适用。
• 当 ( f(A) ) 生成 ( B ) 时：也就是 ( B ) 中所有元素都能通过 ( f(A) ) 中的元素进行代数运算（比如加法、乘法）得到。这时候因为生成元上 ( g ) 满足同态性质，整个结构上自然也满足同态的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user60264