初等同余问题：同余方程解的一致性与解数疑问

咱们一步步拆解你的两个问题，把逻辑理清楚：

问题1：$x\equiv24\pmod{35}$ 是否是原方程的不同余解？ #

首先明确：$x\equiv24\pmod{35}$ 不是原方程 $152x\equiv8\pmod{140}$ 的单个不同余解，而是一组解的统一表示。

原方程的模是140，而35是140除以$\gcd(152,140)=4$的结果（即 $140/4=35$）。当你得到 $x\equiv24\pmod{35}$ 时，意味着在模140的范围内，所有满足这个同余式的数都是原方程的解，具体来说就是：

• $24$
• $24+35=59$
• $59+35=94$
• $94+35=129$

这四个数在模140下是互不相同的，它们都是原方程的不同余解，而 $x\equiv24\pmod{35}$ 是把这四个解用一个同余式概括了。

问题2：第二个同余方程中 $\gcd(152,140)=4$，是否存在4个不同余解？ #

完全正确！根据线性同余方程的核心定理：

对于方程 $ax\equiv b\pmod{m}$，设 $d=\gcd(a,m)$：

• 如果 $d\nmid b$，方程无解；
• 如果 $d\mid b$，方程有 $d$ 个模 $m$ 的不同余解。

回到你的问题：

• $a=152$，$m=140$，计算得 $d=\gcd(152,140)=4$；
• $b=8$，显然 $4\mid8$，满足有解的条件；
• 因此原方程在模140下确实有4个不同余解，也就是我们刚才列出的24、59、94、129。

另外可以验证一下：把这四个数代入原方程 $152x\equiv8\pmod{140}$，比如代入24：$152\times24=3648$，$3648\div140=26$ 余8，符合；代入59：$152\times59=8968$，$8968-140\times64=8968-8960=8$，也符合，以此类推，四个解都满足原方程。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aftnix