在$\mathbb R^2$平面中可容纳多少个单位正方形？

我琢磨用单位正方形填满整个平面这个问题有段时间了，终于想出了一套可行的填充算法，但还是有点拿不准自己的推理是不是站得住脚。先把我的思路分享出来：

• 从坐标点 (0,0) 开始，这是整个填充流程的起始位置。
• 向右放置一个单位正方形，接着向左放置一个，以此类推左右交替放置，直到填满 $\mathbb R \times [0,1]$ 这个水平条带区域。这个过程需要可数次的左右交替操作——毕竟所需的正方形数量和整数的数量完全一致，每个整数位置都对应一个单位正方形。
• 返回原点 (0,0)，向下移动一个单位正方形的边长距离（即到达 (0,-1) 位置），重复第二步的操作，填满 $\mathbb R \times [-1,0]$ 条带。
• 持续重复第三步的操作，依次向下（向上操作逻辑完全相同）填充每一条水平条带，直至覆盖整个 $\mathbb R \times \mathbb R$ 平面。

概括来说，这个方案就是通过可数次的左右交替放置完成单条水平带的填充，再通过可数次的上下移动遍历所有水平带，最终实现整个平面的全覆盖。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aemilius