求小于10¹⁰的递增数字个数：曲棍球棒恒等式解法疑问

嘿，我来帮你把这个问题和曲棍球棒恒等式的应用理得明明白白——其实本质是把上坡数的计数转化为组合数学里的经典问题，再用恒等式快速求和。

先明确问题边界 #

首先，咱们得精准定义“小于10¹⁰的上坡数”：

• 上坡数是各位数字从左到右非严格递增的正整数（比如122349符合，单数字如5也符合，0不算，因为它不是正整数）；
• 小于10¹⁰意味着这个数最多是10位（10位数字的最高位不能是0，否则就变成更少位数的数了）。

把上坡数转化为组合问题 #

对于任意一个k位的上坡数（k从1到10），它的各位数字满足：
1 ≤ a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ aₖ ≤ 9

你仔细想一下：这样的数字序列，和“从1-9这9个数字中可重复地选取k个元素”是一一对应的——每个多重组合（允许重复选同一个数字），按从小到大排好就是唯一的上坡数；反过来每个上坡数也对应唯一的一个多重组合。

根据组合数学里的多重组合数公式：从n个不同元素中可重复选k个的组合数是C(n + k - 1, k)。这里n=9（数字1到9），所以k位上坡数的数量就是：
C(9 + k - 1, k) = C(k + 8, k)
利用组合数的性质C(n, k) = C(n, n-k)，可以写成更方便求和的形式：C(k + 8, 8)。

曲棍球棒恒等式的妙用 #

现在我们需要计算1位到10位上坡数的总数，也就是求这个求和式：
S = sum_{k=1}^{10} C(k + 8, 8)

先调整一下求和变量：令r = k + 8，当k=1时r=9，k=10时r=18，所以求和式变成：
S = sum_{r=9}^{18} C(r, 8)

这时候就轮到曲棍球棒恒等式出场了！这个恒等式的核心形式是：
sum_{r=m}^{n} C(r, m) = C(n + 1, m + 1)

如果我们从r=8开始求和（也就是加上r=8时的项C(8,8)），就完全符合恒等式的形式：
sum_{r=8}^{18} C(r, 8) = C(19, 9)

而C(8,8)=1，所以我们要的S就是这个结果减去1：
S = C(19, 9) - 1

计算最终结果 #

现在算组合数C(19,9)：
C(19,9) = 19!/(9!×10!) = 92378

所以总数就是：
S = 92378 - 1 = 92377

补充小说明 #

如果题目把0也算作上坡数，那总数就是92378，但从问题里的例子（122349）来看，显然是统计正整数，所以最终答案是92377。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kadek Surya Mahardika