关于满足特定偏微分方程约束的函数S的特征及解的问询

嘿，这个问题挺有意思的——答案是肯定的，存在大量其他满足约束的函数。我们可以从约束的结构入手，一步步推导出所有可能的解，还能轻松构造新例子。

1. 约束条件的关键转化 #

先把给定的约束再写一遍，方便分析：对每个$i \in {1,2,\dots,n}$，
$$
\sum_{j=1}^n x_j \frac{\partial S_j}{\partial x_i}(x) = 0
$$
这里有个很巧妙的转化：利用乘积法则展开$\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\sum_{j=1}^n x_j S_j(x)\right)$，你会得到：
$$
\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\sum_{j=1}^n x_j S_j(x)\right) = S_i(x) + \sum_{j=1}^n x_j \frac{\partial S_j}{\partial x_i}(x)
$$
结合原约束里的$\sum_{j=1}^n x_j \frac{\partial S_j}{\partial x_i}(x)=0$，直接就能推出：
$$
\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\sum_{j=1}^n x_j S_j(x)\right) = S_i(x) \quad \forall i
$$

换句话说，如果我们令$F(x) = \sum_{j=1}^n x_j S_j(x)$，那么$S(x)$其实就是$F(x)$的梯度：$S(x) = \nabla F(x)$（$\nabla F$表示$F$的偏导数向量）。

2. 齐次函数的核心角色 #

现在把$S(x)=\nabla F(x)$代回$F(x)$的定义，会得到：
$$
F(x) = \sum_{j=1}^n x_j \frac{\partial F}{\partial x_j}(x)
$$
这正好是欧拉齐次函数定理的核心等式——它告诉我们，$F(x)$必须是一个1次齐次函数，也就是满足$F(tx) = tF(x)$对所有$t>0$和定义域内的$x$成立的可微函数。

到这里结论就清晰了：所有满足原约束的函数$S(x)$，恰好是某个1次齐次可微函数的梯度。你的例子只是这个函数族里的一个特例。

3. 验证你的例子符合结论 #

我们来确认一下你给出的例子确实符合这个规律：
$$S_{j}(x)=\ln\left(\sum_{k}x_{k}\right)-\ln{}x_{j}$$
对应的$F(x)$是什么呢？计算一下梯度的原函数：
$$
F(x) = \left(\sum_{k=1}^n x_k\right)\ln\left(\sum_{k=1}^n x_k\right) - \sum_{k=1}^n x_k \ln x_k
$$
验证它的齐次性：
$$
F(tx) = t\left(\sum x_k\right)\ln\left(t\sum x_k\right) - t\sum x_k \ln(tx_k)
$$
展开后会消掉$\ln t$相关的项，最终得到$F(tx)=tF(x)$，确实是1次齐次函数，而且$\nabla F(x)$正好就是你给出的$S(x)$，完美匹配。

4. 轻松构造新的满足约束的函数 #

现在我们可以随便构造无数个新解，只要找任意1次齐次函数，取它的梯度就行：

• 常向量场：取$F(x)=a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n$（线性函数，天生1次齐次），那么$S_j(x)=a_j$（常数）。验证约束：$\sum_j x_j \frac{\partial S_j}{\partial x_i} = \sum_j x_j \cdot 0 =0$，完全满足。
• 非线性例子：取$F(x)=\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^{1/2} \cdot \left(\sum_{k=1}^n b_kx_k\right)^{{1/2}$（$b_k$为任意常数），这是1次齐次函数（因为$(tA)}{1/2}(tB)^{1/2}=tA{1/2}B^{1/2}$），它的梯度$S(x)=\nabla F(x)$就是一个非线性的满足约束的向量场。
• 对数组合例子：取$F(x)=x_1\ln\left(\frac{x_2}{x_1}\right)+x_2\ln\left(\frac{x_3}{x_2}\right)+\dots+x_{n-1}\ln\left(\frac{x_n}{x_{n-1}}\right)$，验证齐次性：$F(tx)=tF(x)$，它的梯度也满足原约束。

这些都是和你的例子完全不同的解，足以说明满足约束的函数有很多。

总结 #

原约束的本质是要求$S(x)$是某个1次齐次可微函数的梯度，只要满足这个条件的向量场都符合要求。你给出的例子只是这个庞大函数族中的一员，我们可以通过构造不同的1次齐次函数，得到无数个新的解。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者maibaita