关于[0,1]上有理点相关级数的收敛性与可积性问题

咱们来拆解这个围绕[0,1]中有理数可数枚举的级数问题，先明确背景：取$\mathbb{Q} \cap [0,1]$的可数枚举$\mathbb{Q} \cap [0,1] = \bigcup_{n=1}^{\infty} {r_n}$（这里是不交并，因为每个有理数都是单点集），接下来逐个分析三个问题：

结论是几乎处处收敛，可以用Borel-Cantelli引理来证明：

对任意$\epsilon > 0$，定义集合$E_k = \left{x \in [0,1] : \frac{1}{2^k |x - r_k|^{1/2}} > \epsilon\right}$，等价于$|x - r_k| < \frac{1}{(2^k \epsilon)^2}$。这个集合是围绕$r_k$的区间，其测度$m(E_k) \leq \frac{2}{(2^k \epsilon)^2} = \frac{2}{4^k \epsilon^2}$（边界处长度可能更小，但不影响求和）。

计算测度的级数和：
$$\sum_{k=1}^\infty m(E_k) = \frac{2}{\epsilon^2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4^k} = \frac{2}{\epsilon^2} \cdot \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{2}{3\epsilon^2} < \infty$$

根据Borel-Cantelli引理，几乎所有$x \in [0,1]$只属于有限个$E_k$。也就是说，对几乎每个$x$，当$k$足够大时，$\frac{1}{2^k |x - r_k|^{1/2}} \leq \epsilon$。由于$\epsilon$是任意正数，级数的通项趋于0，再结合$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k}$收敛，用比较判别法可知级数几乎处处收敛。

结论是**$S$属于$L^1([0,1])$**，我们可以通过计算积分的上界来验证：

对每个$k$，计算单一项的积分：
$$\int_{[0,1]} \frac{1}{2^k |x - r_k|^{1/2}} dx = \frac{1}{2^k} \left( \int_{0}^{r_k} \frac{1}{(r_k - x)^{1/2}} dx + \int_{r_k}^1 \frac{1}{(x - r_k)^{1/2}} dx \right)$$

计算每个积分：$\int_a^b \frac{1}{\sqrt{t}} dt = 2\sqrt{t}\bigg|_a^b$，因此第一个积分结果为$2\sqrt{r_k}$，第二个为$2\sqrt{1 - r_k}$，两者之和$2(\sqrt{r_k} + \sqrt{1 - r_k}) \leq 4$（因为$\sqrt{r} + \sqrt{1 - r} \leq \sqrt{2(r + 1 - r)} = \sqrt{2} < 2$）。

利用单调收敛定理（所有项非负，可交换求和与积分）：
$$\int_{[0,1]} S(x) dx = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} \int_{[0,1]} \frac{1}{|x - r_k|^{1/2}} dx \leq \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{2^k} = 4 < \infty$$

这说明$S$的Lebesgue积分有限，即$S \in L^1([0,1])$。

我们用反证法来证明：

假设存在正测度区间$I$使得$S \in L^2(I)$，即$\int_I S^2(x) dx < \infty$。展开$S^2$：
$$S^2(x) = \left( \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k |x - r_k|^{1/2}} \right)^2 = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4^k |x - r_k|} + 2\sum_{1 \leq k < l}^\infty \frac{1}{2^{k+l} |x - r_k|^{1/2} |x - r_l|^{1/2}}$$

由于所有项都是非负的，因此：
$$\int_I S^2(x) dx \geq \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4^k} \int_I \frac{1}{|x - r_k|} dx$$

注意到有理数在[0,1]中稠密，所以正测度区间$I$包含无穷多个$r_k$。对于每个$r_k \in I$，积分$\int_I \frac{1}{|x - r_k|} dx$是发散的——因为当$c \in (a,b)$时，$\int_a^b \frac{1}{|x - c|} dx = \int_{c-\delta}^{c+\delta} \frac{1}{|x - c|} dx + \text{有限部分}$，而$\int_{c-\delta}^{c+\delta} \frac{1}{|x - c|} dx = 2\ln\delta \to \infty$当$\delta \to 0$。

这意味着级数$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4^k} \int_I \frac{1}{|x - r_k|} dx$中有无穷多项为$\infty$，因此整个级数发散到$\infty$，与$\int_I S^2(x) dx < \infty$矛盾。因此假设不成立，即对任意正测度区间$I$，$S \notin L^2(I)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gil Or