自同构在固定域上的限制是否为其自同构？Galois群相关问询

让我来逐个拆解这两个问题，帮你理清背后的核心逻辑：

问题1：将自同构限制在固定域上，所得映射是否仍是该固定域的自同构？ #

答案是不一定，这完全取决于你选取的自同构和固定域对应的子群之间的关系。

先明确固定域的定义：假设$K/k$是Galois扩张，$H < Gal(K/k)$，固定域$L = K^H = {x \in K \mid \forall \sigma \in H, \sigma(x) = x}$。当你把一个自同构$\tau \in Gal(K/k)$限制到$L$上时，首先得满足$\tau(L) \subseteq L$，才能谈是否是$L$的自同构。

举个直观的反例：
取$K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)$（$\omega$是三次单位根），这是$\mathbb{Q}$的Galois扩张，Galois群$Gal(K/\mathbb{Q}) \cong S_3$（对称群）。取子群$H = {1, \tau}$，其中$\tau$是交换$\omega$和$\omega^2$、固定$\sqrt[3]{2}$的自同构，对应的固定域$L = K^H = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$。

现在取自同构$\sigma \in Gal(K/\mathbb{Q})$，它把$\sqrt[3]{2}$映射到$\omega\sqrt[3]{2}$、固定$\omega$。把$\sigma$限制到$L$上时，$\sigma(\sqrt[3]{2}) = \omega\sqrt[3]{2}$，但$\omega\sqrt[3]{2}$并不在$L = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$里（$L$是实数域，而$\omega\sqrt[3]{2}$是复数）。这时候$\sigma$的限制连$L$到自身的映射都不是，更别说自同构了。

只有当$\tau$属于$H$在$Gal(K/k)$中的正规化子$N(H) = {\tau \in Gal(K/k) \mid \tau H \tau^{-1} = H}$时，$\tau(L) = K^{\tau H \tau^{-1}} = K^H = L$，此时限制映射才是$L$的自同构。

问题2：设有限域扩张的Galois群为$Gal(K/k)$，固定域$L = K^H$（其中$H < Gal(K/k)$），为何$Gal(K/k)$中的自同构在L上的限制是L的自同构？ #

这个结论成立的前提是**$H$是$Gal(K/k)$的正规子群**（或者说$L/k$是Galois扩张），这是有限Galois扩张对应定理的核心内容之一：

1. 映射到自身的保证：当$H$是正规子群时，对任意$\tau \in Gal(K/k)$，有$\tau H \tau^{-1} = H$。根据固定域的性质，$\tau(L) = \tau(K^H) = K^{\tau H \tau^{-1}} = K^H = L$，也就是说$\tau$把$L$中的元素全部映射回$L$内部。
2. 自同构的验证：
   • 运算保持：$\tau$是$K$的自同构，限制在$L$上自然保持加法和乘法运算；
   • 单射：$\tau$在$K$上是单射，限制在$L$上当然也是单射；
   • 满射：因为$K/k$是有限扩张，$L$作为中间域也是有限扩张，有限集合上的单射必然是满射。

此时，这个限制映射还给出了$Gal(K/k)$到$Gal(L/k)$的满同态，核恰好是$H$，因此$Gal(L/k) \cong Gal(K/k)/H$——这就是Galois对应中连接大群和中间域自同构群的关键结论。

如果$H$不是正规子群，那像问题1的反例一样，部分自同构的限制不会映射到$L$自身，也就不是$L$的自同构了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ecotistician