Durrett习题1.3.16：非负随机变量X的两个极限证明

已知随机变量 $X \ge 0$，我们需要证明以下两个结论：

1. $\lim_{y\to\infty} y,\Bbb{E}\left[ \frac{1}{X} \cdot 1_{X>y} \right] = 0$
2. $\lim_{y \downarrow 0} y,\Bbb{E}\left[ \frac{1}{X} \cdot 1_{X>y} \right] = 0$

注：题目未假设 $\Bbb{E}[1/X] < \infty$

第一部分：证明 $\boldsymbol{\lim_{y\to\infty} y,\Bbb{E}\left[ \frac{1}{X} \cdot 1_{X>y} \right] = 0}$ #

咱们先把期望里的表达式改写一下：$y \cdot \frac{1}{X} \cdot 1_{X>y} = \frac{y}{X} \cdot 1_{X>y}$。先观察这个式子的边界：

• 当 $X > y$ 时，$\frac{y}{X} < 1$，所以整个表达式肯定小于 $1_{X>0}$（只有X>0时这个项才可能非零）；
• 而 $\Bbb{E}[1_{X>0}] = P(X>0) \le 1$，是个有限值，满足控制收敛定理的「控制函数可积」条件。

再看逐点收敛性：

• 如果 $X=0$，那 $1_{X>y}=0$，不管y多大，这个项都是0；
• 如果 $X>0$，当y增大到超过X时，$1_{X>y}=0$，所以当 $y \to \infty$ 时，$\frac{y}{X} \cdot 1_{X>y}$ 最终会变成0，也就是逐点趋向0。

根据控制收敛定理，我们可以把极限和期望交换顺序，得到：
$$
\lim_{y\to\infty} \Bbb{E}\left[ \frac{y}{X} \cdot 1_{X>y} \right] = \Bbb{E}\left[ \lim_{y\to\infty} \frac{y}{X} \cdot 1_{X>y} \right] = \Bbb{E}[0] = 0
$$

第二部分：证明 $\boldsymbol{\lim_{y \downarrow 0} y,\Bbb{E}\left[ \frac{1}{X} \cdot 1_{X>y} \right] = 0}$ #

同样先分析期望里的表达式 $\frac{y}{X} \cdot 1_{X>y}$：

• 当 $X > y > 0$ 时，$\frac{y}{X} < 1$，所以整个表达式依然小于 $1_{X>0}$，而 $\Bbb{E}[1_{X>0}]$ 是有限的，控制函数的条件依然满足。

再看逐点收敛性：

• 如果 $X=0$，$1_{X>y}=0$，项始终为0；
• 如果 $X>0$，当 $y \downarrow 0$ 时，$\frac{y}{X}$ 趋向0，同时 $1_{X>y}$ 最终会变成1（当y小于X时），所以整个项趋向0。

同样用控制收敛定理，交换极限和期望顺序：
$$
\lim_{y \downarrow 0} \Bbb{E}\left[ \frac{y}{X} \cdot 1_{X>y} \right] = \Bbb{E}\left[ \lim_{y \downarrow 0} \frac{y}{X} \cdot 1_{X>y} \right] = \Bbb{E}[0] = 0
$$

这里要注意，X=0时1/X无意义，但因为指示函数 $1_{X>y}$ 在X=0时恒为0，所以这部分对期望没有贡献，完全不用考虑。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者GNUSupporter