求C[0,1]与C[0,1)的单位一致闭子代数实例及格性质验证

咱们先从两类代数里的有趣实例入手，再聊聊关于格性质的结论：

一、非平凡单位一致闭子代数实例（含极大子代数） #

1. $C[0,1]$中的实例 #

• 极大子代数经典实例：取区间端点对${0,1}$，定义子代数
  $$A = { f \in C[0,1] \mid f(0) = f(1) }$$
  这是一个单位一致闭子代数：包含常函数（显然满足$f(0)=f(1)$），一致极限的连续函数也会保持端点值相等的性质。同时它是极大的——如果添加任意一个不满足$f(0)=f(1)$的连续函数$g$，根据Stone-Weierstrass定理，生成的代数能分离$[0,1]$上的所有点，最终等于整个$C[0,1]$。
• 非极大的非平凡实例：固定三个点$0, 1/2, 1$，定义
  $$A = { f \in C[0,1] \mid f(0) = f(1/2) = f(1) }$$
  同样满足单位一致闭的条件，但不是极大的——我们可以添加一个仅满足$f(0)=f(1)$但$f(1/2)≠f(0)$的函数，得到更大的子代数，却还没到整个$C[0,1]$。

2. $C[0,1)$中的实例 #

$C[0,1)$是有界连续函数构成的代数，由于定义域非紧，实例更有特点：

• 极大子代数实例：考虑所有在$x\to1^-$时存在极限的有界连续函数，即
  $$A = { f \in C[0,1) \mid \lim_{x \to 1^-} f(x) \text{ 存在} }$$
  它是单位一致闭的：常函数显然在列，一致收敛的有界连续函数列的极限在$x\to1^{-$时也会保持极限存在。同时它是极大的——若添加一个在$x\to1}-$时无极限的有界连续函数$g$，生成的代数能逼近任意有界连续函数，最终等于整个$C[0,1)$。
• 非极大的非平凡实例：考虑周期为$1/2$的有界连续函数，即
  $$A = { f \in C[0,1) \mid f(x) = f(x+1/2), \forall x \in [0,1/2) }$$
  这个子代数包含常函数，一致闭，但显然不是极大的——比如添加一个仅在$[0,1/2)$上非周期的函数，就能得到更大的子代数。

二、单位一致闭子代数必为格的证明 #

结论是：是的，这类子代数$A$一定是格，即对任意$f,g \in A$，$\sup{f,g}$、$\inf{f,g}$和$|f|$都属于$A$，证明步骤如下：

1. 证明$|f| \in A$：
   对于任意$f \in A$，设$M = \sup_{x \in D} |f(x)|$（$D$是$[0,1]$或$[0,1)$），根据Weierstrass逼近定理，存在多项式序列${p_n}$在$[-M,M]$上一致逼近函数$|x|$。由于$A$是单位代数，$p_n(f(x))$是$f$的多项式组合，必然属于$A$；又因为$A$是一致闭的，$p_n(f(x))$一致收敛到$|f(x)|$，所以$|f| \in A$。

2. 证明$\sup{f,g}$和$\inf{f,g} \in A$：
   利用绝对值函数的结论，我们可以用$f,g$和$|f-g|$线性组合表示上确界和下确界：
   $$\sup{f,g} = \frac{f+g}{2} + \frac{|f-g|}{2}$$
   $$\inf{f,g} = \frac{f+g}{2} - \frac{|f-g|}{2}$$
   因为$A$是代数，$f+g$、$f-g$都属于$A$；结合第一步的结论，$|f-g| \in A$，所以上述线性组合的结果也都属于$A$。

综上，$A$满足格的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Daron