证明测度可数可加性：为何该递减集列条件充分的提示请求

这里给你梳理几个关键的思考方向和提示，帮你完成这个充分性的证明：

• 从反证法切入：假设目标结论不成立，即$\cap_{n\geq1}A_n = \emptyset$，我们需要基于这个假设推出矛盾——这是这类测度论证明的常用思路。
• 构造补集序列实现转化：令$B_n = \Omega \setminus A_n$，由于${A_n}$是递减序列，${B_n}$就是递增序列，且$\cup_{n=1}^\infty B_n = \Omega$（因为原集列的交为空）。
• 利用有限可加性展开等式：因为$\mu$是有限可加测度，且$\inf_n \mu(A_n) > 0$意味着$\mu(\Omega)$是有限的（否则$\mu(A_n)$无界，但这里有正下界，所以$\mu(\Omega) \geq \mu(A_n) > c > 0$且有限）。对于每个$n$，$\Omega = A_n \cup B_n$且$A_n \cap B_n = \emptyset$，根据有限可加性可得：
  $$\mu(\Omega) = \mu(A_n) + \mu(B_n)$$
  变形后得到$\mu(B_n) = \mu(\Omega) - \mu(A_n)$。
• 推导矛盾点：由$\inf_n \mu(A_n) = c > 0$，可知对所有$n$，$\mu(B_n) \leq \mu(\Omega) - c < \mu(\Omega)$。但${B_n}$是递增到$\Omega$的序列，若$\cap A_n = \emptyset$，则$\lim_{n\to\infty} \mu(B_n)$应该等于$\mu(\Omega)$，这和前面的不等式矛盾，因此原假设不成立，即$\cap_{n\geq1}A_n \neq \emptyset$。
• 联系测度的连续性性质：你提到的“有限可加集函数的连续性”其实和这个条件等价——这个充分性条件本质上是测度上连续性的逆否表述：若递减集列的交为空，则其测度的极限为0；反过来，若测度的下确界大于0，交就非空。而有限可加性+这种连续性，就可以推出可数可加性。
• 反向关联可数可加性的定义：如果要把这个条件和可数可加性直接挂钩，可以考虑对任意不交的集列${C_n} \subset \mathcal{F}$，令$E_n = \cup_{k=n+1}^\infty C_k$，则${E_n}$是递减集列且$\cap E_n = \emptyset$。根据题设条件，必有$\inf_n \mu(E_n) = 0$，结合有限可加性$\mu(\cup_{k=1}^\infty C_k) = \mu(\cup_{k=1}^n C_k) + \mu(E_n)$，两边取极限就得到可数可加性的等式：$\mu(\cup_{k=1}^\infty C_k) = \sum_{k=1}^\infty \mu(C_k)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者User8976