关于Joyal-Tierney单纯同伦论命题3.2.5与3.2.6的证明疑问

嘿，关于你在Joyal和Tierney《单纯同伦论》里遇到的命题3.2.6中填充映射$k'$的存在性问题，我来帮你拆解清楚：

1. 先锚定基础：${0} \to I$确实是角包含 #

你对这一点的理解完全正确——单纯区间$I$就是1-单形$\Delta^{1$，${0}$对应$\Delta}0$到$\Delta^{1$的包含，也就是**0-角包含**$\Lambda}1_0 \to \Delta^{1$（$\Lambda}1_0$就是$\Delta^1$去掉1号顶点对应的面，剩下的就是0号顶点的单点包含）。而所有角包含（horn inclusion）都是anodyne包含，这是单纯集理论里的基本定义：anodyne包含就是包含所有角包含，且在并、推出、超限复合下封闭的最小包含类。

2. 为什么$X \times {0} \to X \times I$是anodyne包含？ #

这里要用到单纯集乘积的一个关键性质：如果$i: A \to B$是anodyne包含，$X$是任意单纯集，那么乘积映射$\text{id}_X \times i: X \times A \to X \times B$也属于anodyne包含。

套用到我们的场景：

• $i: {0} \to I$是角包含，属于anodyne包含
• 因此$\text{id}_X \times i: X \times {0} \to X \times I$自然也是anodyne包含

3. 填充$k'$存在的核心依据：纤维化的右提升性质 #

命题3.2.6的背景是围绕纤维化$p: E \to X$展开的，而纤维化的定义正是：对所有anodyne包含具有右提升性质（RLP）。

具体到命题开头的交换图表：我们有一个从$X \times {0}$到$E$的映射（通常是纤维化的截面或者相关关联映射），同时$X \times {0} \to X \times I$是anodyne包含，$p: E \to X$是纤维化，形成如下交换图：

X × {0} → E
↓         ↓
X × I    → X

根据纤维化的右提升性质，必然存在一个填充映射$k': X \times I \to E$，使得整个图表交换——这就是$k'$存在的直接依据！

补充：可能的混淆点澄清 #

如果你提到的“该覆盖...”是指覆盖族相关内容，其实这里完全不需要用到覆盖，核心逻辑就是纤维化对anodyne包含的提升性质，而$X \times {0} \to X \times I$恰好满足anodyne包含的条件，因此提升映射$k'$必然存在。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Arnoud Nijon