构造全局不变测度：哈密顿流局部不变测度的全局化可行性问询

这个问题其实可以用微分几何里常用的单位分解工具来解决，算是“局部性质粘合到全局”的经典思路，结合哈密顿流的单参数群特性，就能构造出全局的不变测度，具体步骤和验证如下：

核心工具：紧集的单位分解 #

因为$D$是$\mathbb{R}^n$中的紧集，给定的覆盖${U_\alpha}$是有限开覆盖，所以必然存在光滑单位分解${\rho_\alpha}$满足：

• 每个$\rho_\alpha: D \rightarrow [0,1]$是光滑函数；
• 函数$\rho_\alpha$的支撑集$\text{supp}(\rho_\alpha) \subset U_\alpha$（即$\rho_\alpha$在$U_\alpha$外为0）；
• 对任意$x \in D$，有$\sum_\alpha \rho_\alpha(x) = 1$。

全局不变测度的构造 #

利用上述单位分解，我们可以将局部不变测度$\mu_\alpha$“粘合”成全局测度：
对$D$上的任意Borel可测集$A$，定义：
$$\mu(A) = \sum_\alpha \int_A \rho_\alpha , d\mu_\alpha$$

验证测度的不变性 #

我们需要证明对任意$t \in \mathbb{R}$和可测集$A \subset D$，有$\mu(\phi^t(A)) = \mu(A)$：

1. 先展开$\mu(\phi^t(A))$的表达式：
   $$\mu(\phi^t(A)) = \sum_\alpha \int_{\phi^t(A)} \rho_\alpha , d\mu_\alpha$$
2. 利用变量替换，令$y = \phi^t(x)$，则$x = \phi^{{-t}(y)$，结合哈密顿流的群性质$\phi}{-t} \circ \phi^t = \text{id}$，上式可转化为：
   $$\sum_\alpha \int_A (\rho_\alpha \circ \phi^t) , d(\mu_\alpha \circ \phi^t)$$
3. 结合局部不变测度的条件：
   题目中给出$\mu_\alpha$是$U_\alpha$上的局部不变测度，即对充分小的$T$，当$|t| \leq T$且$A \subset U_\alpha$时，$\phi^t(A) \subset U_\alpha$且$\mu_\alpha(A) = \mu_\alpha(\phi^t(A))$。
   由于哈密顿流是连续的单参数群，对于任意$t$，我们可以将其分解为有限个长度小于$T$的小步（比如$t = k \cdot \Delta t$，其中$|\Delta t| \leq T$），每一步都满足局部不变性，因此可以推广得到：对任意$t$，当$B \subset U_\alpha$且$\phi^t(B) \subset U_\alpha$时，$\mu_\alpha(\phi^t(B)) = \mu_\alpha(B)$，即$\mu_\alpha \circ \phi^t = \mu_\alpha$在$\phi^{-t}(\text{supp}(\rho_\alpha)) \cap U_\alpha$上成立。
4. 最终化简：
   因为$\text{supp}(\rho_\alpha) \subset U_\alpha$，且流的连续性保证了$\phi^t(\text{supp}(\rho_\alpha))$仍在$U_\alpha$的某个邻域内（结合紧性），因此$\mu_\alpha \circ \phi^t = \mu_\alpha$在$\text{supp}(\rho_\alpha \circ \phi^t)$上成立，代入后得到：
   $$\sum_\alpha \int_A (\rho_\alpha \circ \phi^t) , d\mu_\alpha = \sum_\alpha \int_A \rho_\alpha , d\mu_\alpha = \mu(A)$$

另一种简化构造（常数权重） #

如果不需要光滑性，也可以用简单的常数权重来构造：
取正实数$c_\alpha > 0$满足$\sum_\alpha c_\alpha = 1$，定义：
$$\mu(A) = \sum_\alpha c_\alpha \cdot \mu_\alpha(A \cap U_\alpha)$$
同样可以利用局部不变性和流的群性质，验证这个$\mu$是全局不变测度。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Xiao