流体力学证明：利用乘积法则推导散度为零的向量场积分等式

咱们一步步来推导这个恒等式：当$\underline{\nabla}\cdot\underline{F}=0$时，
$$\iiint_{\Sigma}\left(\underline{F}\cdot\underline{\nabla}\right)\underline{F},dV=\iint_S \left(\underline{F}\cdot\underline{\hat{n}}\right)\underline{F},dA$$
核心就是用乘积法则展开$\frac{\partial}{\partial x_j}\left(F_iF_j\right)$，再结合高斯散度定理完成推导。

第一步：应用乘积法则展开分量形式 #

先看分量形式的导数$\frac{\partial}{\partial x_j}\left(F_iF_j\right)$，这里$F_i$是向量$\underline{F}$的第$i$个分量，采用爱因斯坦求和约定（重复下标自动求和），对它用乘积法则展开：
$$\frac{\partial}{\partial x_j}\left(F_iF_j\right) = F_i \frac{\partial F_j}{\partial x_j} + F_j \frac{\partial F_i}{\partial x_j}$$

把这两项对应到向量运算上：

• 第一项$F_i \frac{\partial F_j}{\partial x_j}$：$\frac{\partial F_j}{\partial x_j}$就是$\underline{F}$的散度$\underline{\nabla}\cdot\underline{F}$，所以这一项是$\left(\underline{\nabla}\cdot\underline{F}\right)\underline{F}$的第$i$个分量；
• 第二项$F_j \frac{\partial F_i}{\partial x_j}$：这正好是$\left(\underline{F}\cdot\underline{\nabla}\right)\underline{F}$的第$i$个分量——因为$\underline{F}\cdot\underline{\nabla}=F_1\frac{\partial}{\partial x_1}+F_2\frac{\partial}{\partial x_2}+F_3\frac{\partial}{\partial x_3}$，作用在$\underline{F}$上的分量就是$F_j\frac{\partial F_i}{\partial x_j}$。

把分量形式推广到向量层面，得到并矢的散度公式：
$$\underline{\nabla}\cdot\left(\underline{F}\otimes\underline{F}\right) = \left(\underline{\nabla}\cdot\underline{F}\right)\underline{F} + \left(\underline{F}\cdot\underline{\nabla}\right)\underline{F}$$
这里$\underline{F}\otimes\underline{F}$是并矢，它的分量就是$F_iF_j$，所以散度的分量就是我们刚才展开的$\frac{\partial}{\partial x_j}\left(F_iF_j\right)$。

第二步：对等式两边做体积分 #

把上面的等式在区域$\Sigma$上做体积分：
$$\iiint_{\Sigma} \underline{\nabla}\cdot\left(\underline{F}\otimes\underline{F}\right) dV = \iiint_{\Sigma} \left(\underline{\nabla}\cdot\underline{F}\right)\underline{F} dV + \iiint_{\Sigma} \left(\underline{F}\cdot\underline{\nabla}\right)\underline{F} dV$$

第三步：用高斯散度定理转化面积分 #

根据高斯散度定理，并矢场的体积分等于它在区域边界$S$上的面积分，也就是左边可以转化为：
$$\iint_S \left(\underline{F}\otimes\underline{F}\right)\cdot\underline{\hat{n}} dA$$
这里$\underline{\hat{n}}$是边界$S$上的单位法向量。而并矢点乘法向量的结果就是$\left(\underline{F}\cdot\underline{\hat{n}}\right)\underline{F}$——分量验证的话，$\left(\underline{F}\otimes\underline{F}\right)\cdot\underline{\hat{n}}$的第$i$个分量是$F_iF_jn_j=F_i(\underline{F}\cdot\underline{\hat{n}})$，对应向量就是$\left(\underline{F}\cdot\underline{\hat{n}}\right)\underline{F}$。

第四步：代入散度为零的条件 #

题目给出$\underline{\nabla}\cdot\underline{F}=0$，所以右边的第一项积分$\iiint_{\Sigma} \left(\underline{\nabla}\cdot\underline{F}\right)\underline{F} dV$的被积函数为0，整个积分结果为0。

把这些代入后，就得到：
$$\iint_S \left(\underline{F}\cdot\underline{\hat{n}}\right)\underline{F} dA = \iiint_{\Sigma} \left(\underline{F}\cdot\underline{\nabla}\right)\underline{F} dV$$
这就是我们要证明的恒等式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MRT