已知随机变量的PDF与期望，求α、β的值及积分求解方法

嘿，你不用头疼硬算这个积分啦！咱们可以通过配方把这个概率密度函数转化成熟悉的正态分布形式，靠现成的性质就能解决，一步步来：

先看pdf里的指数项：$-x^2 - \beta x$，我们把它整理成完全平方的形式：
$$-x^2 - \beta x = -\left(x^2 + \beta x\right) = -\left[\left(x + \frac{\beta}{2}\right)^2 - \left(\frac{\beta}{2}\right)^2\right] = -\left(x + \frac{\beta}{2}\right)^2 + \frac{\beta^2}{4}$$

把这个结果代回原概率密度函数，就能得到：
$$f(x) = \alpha \cdot e^{\frac{\beta2}{4}} \cdot e^{-\left(x + \frac{\beta}{2}\right)^2}$$

我们知道标准正态分布的推广——$N(\mu, \sigma^2)$的pdf是：
$$f_N(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma2}}$$

现在看我们配方后的式子，指数部分可以写成：
$$-\left(x + \frac{\beta}{2}\right)^2 = -\frac{(x - (-\frac{\beta}{2}))^2}{2 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}$$
这说明咱们的分布其实就是正态分布，其中均值$\mu = -\frac{\beta}{2}$，方差$\sigma^2 = \frac{1}{2}$。

接下来利用概率密度的归一化条件（整个实数域上积分等于1）来求$\alpha$：
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \alpha \cdot e^{\frac{\beta2}{4}} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\left(x + \frac{\beta}{2}\right)^2} dx = 1$$

这里用到一个常用的高斯积分结论：$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t2} dt = \sqrt{\pi}$（这个不用自己推导，记住就行）。做变量替换$t = x + \frac{\beta}{2}$，积分结果就是$\sqrt{\pi}$，代入后就能解出：
$$\alpha = \frac{e^{{-\frac{\beta}2}{4}}}{\sqrt{\pi}}$$

题目给了$E[X] = -0.5$，而正态分布的期望就是它的均值$\mu$，也就是$-\frac{\beta}{2}$，所以：
$$-\frac{\beta}{2} = -0.5 \implies \beta = 1$$

把$\beta=1$代入$\alpha$的表达式，就能得到：
$$\alpha = \frac{e^{-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\pi}}$$

如果想直接计算期望的积分$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$，也可以用变量替换：令$t = x + \frac{\beta}{2}$，则$x = t - \frac{\beta}{2}$，积分拆成两部分：
$$E[X] = \alpha e^{\frac{\beta2}{4}} \left( \int_{-\infty}^{\infty} t e^{-t2} dt - \frac{\beta}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t2} dt \right)$$
第一部分是奇函数在对称区间的积分，结果为0；第二部分就是$\sqrt{\pi}$，最后还是得到$E[X] = -\frac{\beta}{2}$，和用正态分布性质得到的结果一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Adienl