求x→∞时(4^(3x)sinx)/3^(4x)的极限，求解方法是否正确？

各位好，我最近在求解一道极限题时产生了一些困惑，想请大家帮忙指正我的解法是否正确，同时也好奇这道题为什么分值给到了9分：

我需要求解的极限是：
$$\lim_{x \to \infty} \frac{4^{3x} \sin x}{3^{4x}}$$

我的求解过程如下：
\begin{align*}
&\Rightarrow \lim_{x \to \infty} \left(\frac{4^{3}}{3{4}}\right)^x \sin x\
&\Rightarrow \lim_{x \to \infty} \left(\frac{64}{81}\right)^x \sin x
\end{align*}

我的推理逻辑是：因为$\frac{64}{81}<1$，当$x \to \infty$时，$\left(\frac{64}{81}\right)^x$的极限是0，而$\sin x$的值始终在*[-1, 1]*之间，属于有界量，所以根据“无穷小量乘以有界量仍为无穷小量”的结论，得出：
$$\lim_{x \to \infty}(0)\times (\text{finite})=0$$

不过我不确定这个方法是否严谨正确，而且这道题的分值有9分，我有点疑惑为什么分值这么高，是不是我漏掉了什么关键点？恳请各位帮忙分析指正。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DSR