求证：开连通集上偏导uₓ=0且uᵧ=0的二元函数u为常值函数

嘿，咱们把这个结论一步步理清楚——如果二元函数 ( u:D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} ) 在开连通集 ( D ) 上的两个一阶偏导数 ( u_x ) 和 ( u_y ) 处处为零，那这个函数在 ( D ) 上肯定是个常值函数。下面是完整的推导过程：

第一步：利用开连通集的核心性质 #

首先，( D ) 是开连通集，这意味着它具备多边形连通性——简单说就是：( D ) 里随便挑两个点，都能画一条完全落在 ( D ) 内部的折线把它们连起来，折线的每一段都是直线段。

第二步：取任意两点并构造连接折线 #

在 ( D ) 中任取两点 ( z_0 = (a,b) ) 和 ( z_n = (x_n,y_n) )，根据多边形连通性，存在一系列线段 ( [z_0,z_1] \cup [z_1,z_2] \cup \dots \cup [z_{n-1},z_n] )，将这两个点连通。

第三步：分析单条线段上的函数值 #

先看其中一段，比如连接 ( z_0 = (a,b) ) 和 ( z_1 = (x_1,y_1) ) 的线段（你写的参数方程里第二个坐标写成 ( x_2 ) 应该是笔误，我改成 ( y_1 ) 啦），这条线段的参数方程可以写成：
[
g(t) = \left( a + t(x_1 - a),\ b + t(y_1 - b) \right) = (f(t),\ h(t)),\quad t \in [0,1]
]
这里把第二个分量的函数名改成 ( h(t) )，避免和参数方程的名字 ( g(t) ) 混淆，看着更清晰。

接下来构造复合函数 ( F(t) = u(f(t), h(t)) )，也就是把线段上的点代入 ( u ) 得到的关于 ( t ) 的一元函数。对 ( F(t) ) 用链式法则求导：
[
F'(t) = u_x(f(t), h(t)) \cdot f'(t) + u_y(f(t), h(t)) \cdot h'(t)
]
因为已知 ( u_x = 0 )、( u_y = 0 ) 在 ( D ) 上处处成立，而这条线段完全在 ( D ) 内，所以 ( u_x(f(t), h(t)) = 0 )，( u_y(f(t), h(t)) = 0 )，代入后直接得到 ( F'(t) = 0 ) 对所有 ( t \in [0,1] ) 都成立。

根据一元函数的经典结论：导数恒为零的函数在区间上是常值函数，所以 ( F(0) = F(1) )，也就是 ( u(z_0) = u(z_1) )。

第四步：推广到整个折线 #

用同样的方法，我们可以依次证明 ( u(z_1) = u(z_2) )，( u(z_2) = u(z_3) )，……，一直到 ( u(z_{n-1}) = u(z_n) )。把这些等式串起来，就得到 ( u(z_0) = u(z_n) )。

最终结论 #

因为 ( z_0 ) 和 ( z_n ) 是 ( D ) 里任意选取的两点，所以 ( u ) 在 ( D ) 上的所有点取值都相等，也就是常值函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jhon Doe