如何求解广义五角数序列离散卷积的闭式表达式？

嘿，这个问题和欧拉五角数定理直接相关，咱们一步步来拆解清楚：

首先，先明确你定义的序列 $a_n$：
$$a_n= \left\lbrace \begin{array}{ll} (-1)^k & \text{当 }n=\frac{k(3k\pm 1)}{2}\ 1 & \text{当 } n=0\ 0 & \text{其他情况 } \end{array} \right.$$
这个序列其实就是欧拉五角数定理中生成函数的系数——它的生成函数是：
$$A(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \prod_{k=1}^\infty (1 - x^k)$$
这是欧拉五角数定理的核心结论：无穷乘积 $\prod_{k=1}^\infty (1 - x^k)$ 展开后，系数正好对应 $a_n$。

接下来看你要求的离散卷积：
$$b_l = \sum_{n=0}^{l} a_n a_{l-n}$$
根据生成函数的性质，卷积的生成函数是两个序列生成函数的乘积，也就是：
$$B(x) = \sum_{l=0}^\infty b_l x^l = (A(x))^2 = \left( \prod_{k=1}^\infty (1 - x^k) \right)^2$$

闭式表达式 #

我们可以直接将卷积的定义展开为求和形式，得到精确的闭式表达式：
$$b_l = \sum_{\substack{k, m \in \mathbb{Z} \ p(k) + p(m) = l}} (-1)^{k+m}$$
其中 $p(t) = \frac{t(3t \pm 1)}{2}$ 代表广义五角数（$t$ 取任意整数，$\pm$ 两种情况都包含）。如果需要更明确的展开形式，也可以拆分为三种组合情况：
$$b_l = \sum_{\substack{k, m \in \mathbb{Z} \ \frac{k(3k-1)}{2} + \frac{m(3m-1)}{2} = l}} (-1)^{k+m} + \sum_{\substack{k, m \in \mathbb{Z} \ \frac{k(3k-1)}{2} + \frac{m(3m+1)}{2} = l}} (-1)^{k+m} + \sum_{\substack{k, m \in \mathbb{Z} \ \frac{k(3k+1)}{2} + \frac{m(3m+1)}{2} = l}} (-1)^{k+m}$$

组合意义与小例子验证 #

从组合角度看，$b_l$ 表示将整数 $l$ 写成两个广义五角数之和的所有方式中，每种方式对应 $(-1)^{k+m}$ 的总和（$k,m$ 是两个五角数对应的参数）。我们可以用小数值验证：

• $l=0$：只有 $0+0$，$b_0 = 1*1 = 1$
• $l=1$：$0+1$ 和 $1+0$，$b_1 = 1*(-1) + (-1)*1 = -2$
• $l=2$：$0+2$、$1+1$、$2+0$，$b_2 = 1*(-1) + (-1)*(-1) + (-1)*1 = -1$
  这些结果和生成函数 $\left( \prod_{k=1}^\infty (1 - x^k) \right)^2$ 的展开系数完全一致。

补充：递推式计算 #

如果需要更高效的计算方式，结合欧拉五角数定理的递推关系，我们可以得到 $b_l$ 的递推式：
$$b_l = \sum_{t=1}^\infty (-1)^{t+1} \left( b_{l - \frac{t(3t-1)}{2}} + b_{l - \frac{t(3t+1)}{2}} \right)$$
其中 $b_n=0$ 当 $n<0$，$b_0=1$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user3141592