埃尔米特矩阵下广义特征值问题的性质：特征向量B正交性证明

这其实是个挺经典的推导，核心就是利用埃尔米特矩阵的共轭转置性质，结合已知的特征值实数性一步步推导。咱们先明确所有已知条件：

已知对于广义特征值问题 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}=\lambda\boldsymbol{B}\boldsymbol{v}$，$\boldsymbol{A}$、$\boldsymbol{B}$ 是埃尔米特矩阵，$\boldsymbol{B}$ 正定，且 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 是两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $\boldsymbol{v}_1$ 和 $\boldsymbol{v}_2$，即：
$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}_1 = \lambda_1\boldsymbol{B}\boldsymbol{v}_1$$
$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}_2 = \lambda_2\boldsymbol{B}\boldsymbol{v}_2$$

接下来开始推导：

1. 对第一个等式两边取共轭转置：
   因为 $\boldsymbol{A}$ 是埃尔米特矩阵（$\boldsymbol{A}^* = \boldsymbol{A}$），$\boldsymbol{B}$ 也是埃尔米特矩阵（$\boldsymbol{B}^* = \boldsymbol{B}$），且结论(1)已证 $\lambda_1$ 是实数（$\lambda_1^* = \lambda_1$），所以：
   $$\boldsymbol{v}_1^{*\boldsymbol{A}}* = \lambda_1^{*\boldsymbol{v}_1}\boldsymbol{B}^ \implies \boldsymbol{v}_1^\boldsymbol{A} = \lambda_1\boldsymbol{v}_1^\boldsymbol{B}$$

2. 将上式右乘 $\boldsymbol{v}_2$：
   $$\boldsymbol{v}_1^\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}_2 = \lambda_1\boldsymbol{v}_1^\boldsymbol{B}\boldsymbol{v}_2 \tag{1}$$

3. 再对第二个特征值等式左乘 $\boldsymbol{v}_1^$：
   $$\boldsymbol{v}_1^\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}_2 = \lambda_2\boldsymbol{v}_1^*\boldsymbol{B}\boldsymbol{v}_2 \tag{2}$$

4. 用式(1)减去式(2)：
   $$\lambda_1\boldsymbol{v}_1^\boldsymbol{B}\boldsymbol{v}_2 - \lambda_2\boldsymbol{v}_1^\boldsymbol{B}\boldsymbol{v}_2 = 0$$
   提取公因子后得到：
   $$(\lambda_1 - \lambda_2)\boldsymbol{v}_1^*\boldsymbol{B}\boldsymbol{v}_2 = 0$$

5. 因为 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，所以 $\lambda_1 - \lambda_2 \neq 0$，那么必然有：
   $$\boldsymbol{v}_1^*\boldsymbol{B}\boldsymbol{v}_2 = 0$$
   这就证明了不同特征值对应的特征向量满足B正交。

补充一句：这里$\boldsymbol{B}$正定的作用除了保证特征值为实数（结论1），还保证了特征向量是非零向量，且$\boldsymbol{v}^*\boldsymbol{B}\boldsymbol{v}$是正定二次型，确保推导中涉及的二次型有意义，不会出现退化情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者WuQ