求满足特定积分等式的非负连续函数（需解题提示）

a) 问题描述 #

设$n \in \mathbb{N}^*$，$c \in \mathbb{R}+$，求所有满足$\int_0^1{(f(t))ndt} = \int_0^1{(f(t)){n+1}dt} = \int_0^1{(f(t)){n+2}dt} = c$的连续函数$f : [0,1] \to \mathbb{R}+$；

b) 问题描述 #

设$n \in \mathbb{N}^*$，$c \in \mathbb{R}+$，求所有满足$\int_0^1{(f(t))ndt} = \int_0^1{(f(t)){n+1}dt} = c$的连续函数$f : [0,1] \to \mathbb{R}+$；

解题小提示 #

• 对于a)部分，你可以尝试构造平方形式的辅助函数，比如计算$\int_0^1 \left( f(t)^{\frac{n+1}{2}} - f(t)^{\frac{n+2}{2}} \right)^2 dt$，展开后代入已知的三个积分等式，看看结果能推出什么。毕竟连续函数的平方积分等于0的话，函数本身必然是某个常数哦~
• 对于b)部分，先试试假设$f(t)$是常值函数，算出这个常数是什么；接着可以构造$\int_0^1 f(t)^n (1 - f(t)) dt$这样的积分，结合已知条件分析它的结果，或者用柯西-施瓦茨不等式来推导$f(t)$的性质。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者C_M