统计问题：二项分布的正态近似——样本电子书阅读者概率求解

已知条件梳理 #

• 总体中阅读电子书的用户比例：p = 7% = 0.07
• 抽样样本量：n = 600
• 要求计算恰好45人阅读电子书的概率，根据提示需用连续性修正，转化为求区间概率 P(44.5 < X < 45.5)（X为近似正态分布的随机变量）

第一步：验证正态近似的适用性 #

二项分布用正态近似的前提是 np ≥ 5 且 n(1-p) ≥ 5：

• np = 600 * 0.07 = 42
• n(1-p) = 600 * 0.93 = 558
  两者都远大于5，完全可以用正态分布近似二项分布。

第二步：计算正态分布的参数 #

近似的正态分布均值μ和标准差σ：

• 均值：μ = np = 42
• 标准差：σ = √(np(1-p)) = √(600*0.07*0.93) = √39.06 ≈ 6.2498

第三步：计算Z分数并查标准正态分布表 #

将区间边界转化为标准正态分布的Z值：

• 下限Z值：Z₁ = (44.5 - μ)/σ = (44.5 - 42)/6.2498 ≈ 0.40
• 上限Z值：Z₂ = (45.5 - μ)/σ = (45.5 - 42)/6.2498 ≈ 0.56

查标准正态分布表（或用统计计算器）得到：

• P(Z < 0.56) ≈ 0.7123
• P(Z < 0.40) ≈ 0.6554

第四步：计算最终概率 #

所求概率为两个累积概率的差值：
P(44.5 < X < 45.5) = P(Z < 0.56) - P(Z < 0.40) ≈ 0.7123 - 0.6554 = 0.0569

保留四位小数的结果是 0.0569

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Richard Marin