二元正态随机变量Z=max(X,Y)的E[Z²]=1证明咨询

嘿，我来帮你搞定这个证明，其实有个更直接的推导路径，当然也能沿着你之前的思路走通，先给你看最简洁的方法：

步骤1：利用最大值的表达式展开平方 #

我们知道对于任意两个实数$a,b$，有$\max(a,b) = \frac{a+b + |a-b|}{2}$，所以这里$Z = \frac{X+Y + |X-Y|}{2}$，直接平方得：
$$
Z^2 = \frac{(X+Y)^2 + |X-Y|^2 + 2(X+Y)|X-Y|}{4}
$$

步骤2：逐项计算期望 #

对两边取期望，拆分每一项：
$$
\operatorname{E}[Z^2] = \frac{1}{4}\left[\operatorname{E}[(X+Y)^2] + \operatorname{E}[|X-Y|^2] + 2\operatorname{E}[(X+Y)|X-Y|]\right]
$$

计算第一项 $\operatorname{E}[(X+Y)^2]$

因为$X,Y \sim \operatorname{Normal}(0,1)$，相关系数为$\rho$，所以：
$$
\operatorname{E}[(X+Y)^2] = \operatorname{E}[X^2] + 2\operatorname{E}[XY] + \operatorname{E}[Y^2] = 1 + 2\rho + 1 = 2(1+\rho)
$$

计算第二项 $\operatorname{E}[|X-Y|^2]$

绝对值的平方等于原数的平方，所以：
$$
\operatorname{E}[|X-Y|^2] = \operatorname{E}[(X-Y)^2] = \operatorname{E}[X^2] - 2\operatorname{E}[XY] + \operatorname{E}[Y^2] = 1 - 2\rho + 1 = 2(1-\rho)
$$

计算第三项 $\operatorname{E}[(X+Y)|X-Y|]$

令$U = X-Y$，$V = X+Y$，注意$U$和$V$都是二元正态变量的线性组合，因此也是正态变量。计算它们的协方差：
$$
\operatorname{Cov}(U,V) = \operatorname{Cov}(X-Y, X+Y) = \operatorname{Var}(X) - \operatorname{Var}(Y) = 1 - 1 = 0
$$
正态变量协方差为0意味着独立，所以$\operatorname{E}[V|U|] = \operatorname{E}[V] \cdot \operatorname{E}[|U|]$。而$\operatorname{E}[V] = \operatorname{E}[X+Y] = 0$，因此这一项的期望为$0$。

步骤3：合并结果 #

把三项代入期望表达式：
$$
\operatorname{E}[Z^2] = \frac{1}{4}\left[2(1+\rho) + 2(1-\rho) + 2 \times 0\right] = \frac{1}{4}\left[2+2\rho+2-2\rho\right] = \frac{4}{4} = 1
$$
完美得证！

补充：沿着你之前的推导路径完成证明 #

如果你想继续用方差+期望平方的思路：
已知$\operatorname{E}[Z] = \sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}}$，且$\operatorname{E}[Z^2] = \operatorname{Var}(Z) + (\operatorname{E}[Z])^2$。

你已经写到$\operatorname{Var}(X+Y+|U|) = \operatorname{Var}X + \operatorname{Var}Y + \operatorname{Var}|U| + 2\operatorname{Cov}(X,Y) + 2\operatorname{Cov}(X,|U|) + 2\operatorname{Cov}(Y,|U|)$，这里注意：

• $\operatorname{Cov}(X,|U|) + \operatorname{Cov}(Y,|U|) = \operatorname{Cov}(X+Y, |U|) = \operatorname{Cov}(V, |U|)$，而$V$和$U$独立，协方差为0，所以这部分为0。
• $\operatorname{Var}|U| = \operatorname{E}[U^2] - (\operatorname{E}|U|)^2 = 2(1-\rho) - \left(2\sqrt{\frac{1-\rho}{\pi}}\right)^2 = 2(1-\rho) - \frac{4(1-\rho)}{\pi}$

代入后：
$$
\operatorname{Var}(X+Y+|U|) = 1+1 + 2(1-\rho) - \frac{4(1-\rho)}{\pi} + 2\rho = 4 - \frac{4(1-\rho)}{\pi}
$$
则$\frac{1}{4}\operatorname{Var}(X+Y+|U|) = 1 - \frac{1-\rho}{\pi}$，加上$(\operatorname{E}[Z])^2 = \frac{1-\rho}{\pi}$，最终得到：
$$
\operatorname{E}[Z^2] = 1 - \frac{1-\rho}{\pi} + \frac{1-\rho}{\pi} = 1
$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Harry