给定连续满射η，E₀上ℋ^(η)是否为实值函数希尔伯特空间？

咱们一步步拆解验证希尔伯特空间的核心要求：线性空间结构、合理的内积定义，以及完备性。

1. ℋ^η是线性空间 #

因为ℋ本身是E上的实值函数希尔伯特空间，自带线性空间属性：

• 对任意( f_1 = g_1 \circ \eta )，( f_2 = g_2 \circ \eta \in \mathcal{H}^\eta )，它们的和( f_1 + f_2 = (g_1 + g_2) \circ \eta )，而( g_1 + g_2 \in \mathcal{H} )，所以( f_1 + f_2 \in \mathcal{H}^\eta )；
• 对任意实数λ和( f = g \circ \eta \in \mathcal{H}^\eta )，数乘( \lambda f = (\lambda g) \circ \eta )，( \lambda g \in \mathcal{H} )，所以( \lambda f \in \mathcal{H}^\eta )。
  这说明ℋ^η满足线性空间的运算封闭性。

2. 定义内积使其成为内积空间 #

考虑映射( T: \mathcal{H} \to \mathcal{H}^\eta )，其中( T(g) = g \circ \eta )。由于η是满射，这个映射是单射：如果( T(g_1) = T(g_2) )，即( g_1 \circ \eta = g_2 \circ \eta )，那么对任意( y \in E )，存在( x \in E_0 )使得( \eta(x) = y )，因此( g_1(y) = g_1(\eta(x)) = g_2(\eta(x)) = g_2(y) )，即( g_1 = g_2 )。

同时T是满射（ℋ^{η的定义就是T的像集），所以T是线性同构。我们可以通过T把ℋ的内积“搬运”到ℋ}η上：
对任意( f_1 = T(g_1), f_2 = T(g_2) \in \mathcal{H}^\eta )，定义：
[
\langle f_1, f_2 \rangle_{\mathcal{H}^\eta} = \langle g_1, g_2 \rangle_{\mathcal{H}}
]
这个定义是良定的（每个f对应唯一的g），且满足内积的所有公理：

• 正定性：( \langle f, f \rangle_{\mathcal{H}^\eta} = \langle g, g \rangle_{\mathcal{H}} \geq 0 )，等于0当且仅当g=0，即f=0；
• 对称性：( \langle f_1, f_2 \rangle_{\mathcal{H}^\eta} = \langle g_1, g_2 \rangle_{\mathcal{H}} = \langle g_2, g_1 \rangle_{\mathcal{H}} = \langle f_2, f_1 \rangle_{\mathcal{H}^\eta} )；
• 线性性：对任意实数λ，( \langle \lambda f_1 + f_2, f_3 \rangle_{\mathcal{H}^\eta} = \langle \lambda g_1 + g_2, g_3 \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda \langle g_1, g_3 \rangle_{\mathcal{H}} + \langle g_2, g_3 \rangle_{\mathcal{H}} = \lambda \langle f_1, f_3 \rangle_{\mathcal{H}^\eta} + \langle f_2, f_3 \rangle_{\mathcal{H}^\eta} )。

3. 完备性验证 #

希尔伯特空间要求是完备的内积空间。因为ℋ是完备的，而T是等距同构（( |f|{\mathcal{H}^\eta} = \sqrt{\langle f,f \rangle{\mathcal{H}^\eta}} = \sqrt{\langle g,g \rangle_{\mathcal{H}}} = |g|_{\mathcal{H}} )），所以ℋ^{η作为ℋ的等距同构像，必然也是完备的——ℋ中的柯西序列对应ℋ}η中的柯西序列，ℋ的完备性保证了极限存在，通过T映射到ℋ^η就是对应的极限。

关于η的连续性 #

你提到η是连续满射，但在上述推导中，连续性并没有直接影响ℋ^η成为希尔伯特空间的核心条件。不过如果ℋ是E上的连续函数希尔伯特空间（比如带内积的C(E)空间），那么η的连续性可以保证( g \circ \eta )是E₀上的连续函数，此时ℋ^{η是E₀上连续函数空间的一个希尔伯特子空间。但即使ℋ不限制为连续函数空间，只要满足原问题的条件，ℋ}η依然可以按上述方式构造为E₀上的希尔伯特空间。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tom