关于递归序列uₙ₊₂=5uₙ₊₁-6uₙ的三项问题及u₁₀₀位数计算

我来帮你把这个线性递归序列的问题从头到尾理清楚，尤其是你提到的最棘手的c部分：

a) 验证通项形式满足递归关系 #

虽然你已经完成推导，这里再快速过一遍确保逻辑严谨：
我们要验证$u_n=3^np+2nq$满足递归式$u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n$。

先计算左边：
$$u_{n+2}=3^{n+2}p + 2^{n+2}q = 9\cdot3^np +4\cdot2^nq$$

再计算右边：
$$5u_{n+1}-6u_n =5(3^{n+1}p+2{n+1}q) -6(3^np+2nq)$$
展开后合并同类项：
$$= (15-6)3^np + (10-6)2^nq =9\cdot3^np +4\cdot2^nq$$

左边等于右边，所以这个形式的序列确实满足给定的递归关系，没问题。

b) 利用初始条件确定通项公式 #

已知$u_1=5$、$u_2=12$，代入$u_n=3^np+2nq$得到方程组：

• 当$n=1$时：$3p + 2q =5$
• 当$n=2$时：$9p +4q=12$

解这个方程组：
把第一个方程乘以2，得到$6p+4q=10$，用第二个方程减去这个式子：
$$(9p+4q)-(6p+4q)=12-10 \implies 3p=2 \implies p=\frac{2}{3}$$

将$p=\frac{2}{3}$代入第一个方程：
$$3\times\frac{2}{3} +2q=5 \implies 2+2q=5 \implies q=\frac{3}{2}$$

因此，序列的通项公式可以化简为：
$$u_n=2\cdot3^{n-1} +3\cdot2^{n-1}$$
验证一下：$n=1$时，$2\times3^0 +3\times2^{0=2+3=5$；$n=2$时，$2\times3}1 +3\times2^1=6+6=12$，完全符合初始条件。

c) 确定$u_{100}$的位数 #

要确定一个正整数的位数，我们用对数的核心性质：对于正整数$N$，它的位数等于$\lfloor \log_{10}N \rfloor +1$（其中$\lfloor x \rfloor$表示对$x$向下取整）。

首先写出$u_{100}$的表达式：
$$u_{100}=2\cdot3^{99} +3\cdot2^{99}$$

这里注意到$3^{{99}$远大于$2}{99}$（因为底数3>2，指数相同的情况下，底数大的数呈指数级领先），所以$2\cdot3^{{99}$是主导项，$3\cdot2}{99}$相对于它来说是极小的附加项，几乎不影响对数的结果。我们可以先计算主导项的对数，再验证附加项的影响：

步骤1：计算主导项的对数 #

$$\log_{10}(2\cdot3^{99})=\log_{10}2 +99\cdot\log_{10}3$$
代入常用对数的近似值：$\log_{10}2≈0.3010$，$\log_{10}3≈0.4771$
$$99\times0.4771=(100-1)\times0.4771=47.71-0.4771=47.2329$$
$$\log_{10}(2\cdot3^{99})≈0.3010+47.2329=47.5339$$

步骤2：验证附加项的影响 #

计算附加项和主导项的比值：
$$\frac{3\cdot2^{{99}}{2\cdot3}{99}}=\frac{3}{2}\times\left(\frac{2}{3}\right)^{{99}=\left(\frac{2}{3}\right)}{98}$$
由于$0<\frac{2}{3}<1$，指数98很大，这个比值是一个极小的数（约为$10^{-17}$量级），因此：
$$\log_{10}(u_{100})=\log_{10}\left(2\cdot3^{{99}\left(1+\text{极小值}\right)\right)=\log_{10}(2\cdot3}{99})+\log_{10}(1+\text{极小值})≈47.5339+0=47.5339$$

步骤3：计算位数 #

$\lfloor 47.5339 \rfloor=47$，因此$u_{100}$的位数为$47+1=48$。

我们可以再严谨确认：$u_{100}$大于$3.43\times10^{{47}$（远大于$10}{47}$），且小于$8.55\times10^{{47}$（远小于$10}{48}$），所以确实是48位数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者joshuaheckroodt