耦合二阶微分方程组求解方法咨询

嘿，这个耦合二阶方程组其实用线性齐次常系数微分方程组的标准解法就行，你之前试的x'=a、y'=b只是降阶成一阶方程组，但其实不用绕这个弯，直接用消元法或者特征值法更直接，我给你一步步拆解：

首先先把原方程组简化一下，两边都除以常数L，得到更清爽的形式：
$$
\left{
\begin{array}{c}
(m_1+m_2)x'' +m_2y''+\frac{(m_1+m_2)g}{L}x = 0 \quad (1) \
x''+y''+\frac{g}{L}y = 0 \quad (2)
\end{array}
\right.
$$

方法一：消元法（转化为单变量高阶方程） #

从方程(2)里解出y''的表达式：
$$y'' = -x'' - \frac{g}{L}y$$
把这个代入方程(1)，展开后整理：
$$(m_1+m_2)x'' + m_2\left(-x'' - \frac{g}{L}y\right) + \frac{(m_1+m_2)g}{L}x = 0$$
化简后得到：
$$m_1x'' + \frac{(m_1+m_2)g}{L}x - \frac{m_2g}{L}y = 0$$
接着解出y关于x和x''的表达式：
$$y = \frac{m_1L}{m_2g}x'' + \frac{m_1+m_2}{m_2}x \quad (3)$$

现在对(3)式求二阶导数，得到y''的高阶导数形式：
$$y'' = \frac{m_1L}{m_2g}x'''' + \frac{m_1+m_2}{m_2}x'' \quad (4)$$

把(3)和(4)一起代入方程(2)，展开并化简所有项，最终会得到一个关于x的四阶线性齐次常系数微分方程：
$$m_1 x'''' + \frac{2(m_1+m_2)g}{L}x'' + \frac{g^{2(m_1+m_2)}{L}2}x = 0$$

接下来就用标准的高阶常系数方程解法：假设解的形式为x(t)=e^{rt}，代入后得到特征方程：
$$m_1 r^4 + \frac{2(m_1+m_2)g}{L}r^2 + \frac{g^{2(m_1+m_2)}{L}2} = 0$$

令k=r²，把它转化为二次方程求解，计算判别式后可以得到两个负的k值（因为物理上这是振动系统，特征根是纯虚数），进而得到四个特征根r=±iω₁, ±iω₂（其中ω₁、ω₂是正实数，对应两个振动频率）。

于是x(t)的通解就是两个简谐振动的叠加：
$$x(t) = C_1\cos\omega_1 t + C_2\sin\omega_1 t + C_3\cos\omega_2 t + C_4\sin\omega_2 t$$

最后把x(t)代入(3)式，就能直接得到y(t)的通解。

方法二：特征值法（矩阵形式求解） #

\begin{pmatrix}
-(m_1+m_2)g x \
-g y
\end{pmatrix}
$$

先求左边系数矩阵的逆矩阵，然后把方程组转化为：
$$
\begin{pmatrix}
x'' \
y''
\end{pmatrix}
= \frac{1}{m_1L}
\begin{pmatrix}
1 & -m_2 \
-1 & m_1+m_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-(m_1+m_2)g x \
-g y
\end{pmatrix}
$$

接下来假设解的形式为x(t)=Ae^{rt}、y(t)=Be^{rt}，代入后得到关于A和B的线性齐次方程组，要求有非零解的话，系数行列式必须为0，这样就得到了和消元法完全一样的特征方程，后续步骤就和上面一致了。

这两种方法最终都会得到相同的通解，都是由两个不同频率的简谐振动叠加而成，符合这类耦合振动系统的物理特性~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者LiNXO