积分几何：单位正方形光滑曲线及n维立方体光滑流形命题正确性问询

嘿，咱们来逐个拆解这两个命题：

命题1：单位正方形中的光滑曲线情形 #

考虑单位正方形$[0,1]\times[0,1]$中长度有限的光滑曲线$\gamma$，是否存在Lebesgue零集$N$，使得对所有$x\in [0,1]\setminus N$，集合${y\in[0,1]:(x,y)\in\gamma}$仅包含有限个点？

结论：这个命题是正确的

原因很直观，咱们可以用Fubini定理来推导：把曲线$\gamma$看作平面上的子集，它的1维Hausdorff测度（也就是曲线长度）是有限的。考虑$\gamma$的特征函数$\chi_\gamma(x,y)$，对它在单位正方形上做二重积分：
$$
\int_{[0,1]\times[0,1]} \chi_\gamma(x,y) d\mathcal{L}^2(x,y) = \mathcal{H}^1(\gamma) < \infty
$$
根据Fubini定理，这个积分可以拆解为累次积分：
$$
\int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} \chi_\gamma(x,y) dy \right) dx = \mathcal{H}^1(\gamma)
$$
这里内层积分$\int_{0}^{1} \chi_\gamma(x,y) dy$其实就是竖直线${x}\times[0,1]$与$\gamma$的交点个数（因为光滑曲线不会有面积型的重叠，每个交点对应一个孤立点）。既然整个累次积分有限，那么内层积分的值几乎处处有限——也就是存在一个Lebesgue零集$N\subset[0,1]$，当$x\in[0,1]\setminus N$时，${y\in[0,1]:(x,y)\in\gamma}$的点数是有限的。

从几何直觉上看，光滑曲线不会“铺满”任何竖直线，长度有限意味着它不可能在无穷多竖直线上都有无穷多个交点，否则曲线长度会直接发散。

命题2：n维立方体中的n-1维光滑流形情形 #

推广情形：考虑n维立方体$[0,1]^{n$中的光滑流形$M$，假设其$n-1$维Hausdorff测度${\cal{H}}}{n-1}(M)$有限，是否存在满足${\cal{L}}^{n-1}(N)=0$的集合$N$，使得对所有$x\in [0,1]^{n-1}\setminus N$，集合${y\in[0,1]:(x,y)\in M}$仅包含有限个点？

结论：这个命题同样是正确的

推导逻辑和命题1完全一致，只是维度提升了：
把$M$看作n维空间中的n-1维光滑子流形，其$(n-1)$维Hausdorff测度有限。对$M$的特征函数$\chi_M(x_1,...,x_{n-1},y)$在$[0,1]^n$上积分：
$$
\int_{[0,1]^n} \chi_M d\mathcal{L}^n = \mathcal{H}^{n-1}(M) < \infty
$$
用Fubini定理拆解为对$[0,1]^{n-1}$的积分，内层是对$y\in[0,1]$的积分：
$$
\int_{[0,1]^{n-1}} \left( \int_{0}^{1} \chi_M(x,y) dy \right) d\mathcal{L}^{n-1}(x) = \mathcal{H}^{n-1}(M)
$$
内层积分的值就是截面${y:(x,y)\in M}$的点数（光滑n-1维流形的截面不会有“体积型”重叠，每个交点都是孤立的）。由于整个累次积分有限，所以内层积分几乎处处有限——也就是存在$(n-1)$维Lebesgue零集$N\subset[0,1]^{{n-1}$，当$x\in[0,1]}{n-1}\setminus N$时，对应的截面点数有限。

本质上，这两个命题都是Fubini定理在几何测度论中的直接应用：低维Hausdorff测度有限的光滑子流形，其几乎所有高维投影的截面都是有限点集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者guest61