如何用摄动法求解该奇异摄动问题的全部根？

我来帮你梳理这个问题的解法——你遇到的核心问题是：当$\epsilon \to 0$时，三重根$x=0$会分裂成三个不同的根，但你用的正则展开只覆盖了原点附近的那个，另外两个根需要用拉伸变量来捕捉它们的量级尺度。

首先先简化原方程：右边的分式其实是双曲正切函数，即$\frac{e^x - e^{-x}}{ex + e^{-x}} = \tanh x$，所以原方程可以写成：
$$\frac{x^3}{\epsilon} = \tanh x \quad \text{或等价地} \quad x^3 = \epsilon \tanh x$$
当$\epsilon=0$时确实得到三重根$x=0$，属于奇异摄动中重根分裂的场景，下面分两种情况找全三个根：

1. 非零根：用拉伸变量匹配量级平衡 #

观察方程$x^3 = \epsilon \tanh x$，当$x$是小量但不是$\epsilon$的高阶小量时，$\tanh x \approx x$，方程近似为$x^3 \approx \epsilon x$，即$x^2 \approx \epsilon$，这说明非零根的量级是$\epsilon^{{1/2}$，而非你假设的$\epsilon}i$（$i\geq1$）。

我们引入拉伸变量：
$$x = \epsilon^{1/2} y$$
这里$y$是$O(1)$的量（当$\epsilon \to 0$时，$y$不会趋向于0或无穷）。

将其代入原方程，左边化简为$\epsilon^{3/2} y^3$；右边利用$\tanh z$的泰勒展开$\tanh z \approx z - \frac{z^3}{3} + \frac{2z^5}{15} - \dots$展开后得到：
$$\epsilon \left( \epsilon^{1/2} y - \frac{(\epsilon^{1/2} y)^3}{3} + \frac{2(\epsilon^{1/2} y)^5}{15} - \dots \right) = \epsilon^{3/2} y - \frac{\epsilon^{5/2} y^3}{3} + \frac{2\epsilon^{7/2} y^5}{15} - \dots$$

两边同时除以$\epsilon^{3/2}$，得到关于$y$的渐近方程：
$$y^3 = y - \frac{\epsilon y^3}{3} + \frac{2\epsilon^2 y^5}{15} - \dots$$

接下来对$y$做渐近展开$y = y_0 + y_1 \epsilon + y_2 \epsilon^2 + \dots$，代入上式匹配各阶系数：

• **最低阶（$\epsilon^{0$）**：$y_0}3 = y_0$，解得$y_0=0$、$y_0=1$、$y_0=-1$。
  • 当$y_0=1$时，对应正的非零根，匹配$\epsilon^1$项系数可得$3y_1 = y_1 - \frac{1}{3}$，解得$y_1=-\frac{1}{6}$，因此正根的展开式为：
    $$x = \sqrt{\epsilon} - \frac{\epsilon^{3/2}}{6} + O(\epsilon^{5/2})$$
  • 当$y_0=-1$时，同理可得负根的展开式：
    $$x = -\sqrt{\epsilon} + \frac{\epsilon^{3/2}}{6} + O(\epsilon^{5/2})$$

2. 原点附近的根：正则展开的局限性 #

对于$y_0=0$的情况，说明这个根的量级比$\epsilon^{{1/2}$更小。你之前尝试的正则展开$x=\sum_{i=1}}\infty a_i\epsilon^i$代入后会发现：
左边$\frac{x^{3}{\epsilon}$的最低次项是$\epsilon}2$，而右边$\tanh x$的最低次项是$\epsilon$，为了匹配系数，所有$a_i$都必须为0。这意味着原点附近的根就是$x=0$，或者说当$\epsilon \to 0$时，这个根趋向于0的速度比$\epsilon$的任何正幂次都快，其渐近展开就是$x=0 + O(\epsilon^n)$（对任意$n>0$）。

最终的三个根 #

当$\epsilon \to 0$时，原方程的三个根分别为：

• $x=0$（原点附近的孤立根）
• $x = \sqrt{\epsilon} - \frac{\epsilon^{3/2}}{6} + O(\epsilon^{5/2})$（正非零根）
• $x = -\sqrt{\epsilon} + \frac{\epsilon^{3/2}}{6} + O(\epsilon^{5/2})$（负非零根）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Denny