关于整数$n\geq1$时积分$\int_0^1\frac{(1-x)x^{n+1}}{\sin (\pi x)}dx$的求值问询

各位好，我目前在处理一类积分相关的研究时遇到了瓶颈，想向大家寻求帮助：

是否已有已知方法可以对整数$n\geq1$计算如下积分？
$$\int_0^{1\frac{(1-x)x}{n+1}}{\sin (\pi x)}dx$$

结合调和数$H_n$的相关恒等式（参考文献[1]第8页习题10的倒数第二段），并受文献[2]中恒等式(22)的启发，我利用一致收敛性推导出了如下等式：
$$\int_0^{1\frac{(1-x)\log}2(1-x)}{\sin (\pi x)}dx=2\sum_{n=1}^{\infty\frac{H_{n}}{n+1}\int_0}1\frac{(1-x)x^{n+1}}{\sin (\pi x)}dx.\tag{1}$$

我通过计算机代数系统（CAS）验证得知，式(1)右端的各个积分项可以用Zeta函数$\zeta(s)$的特殊值来表示，但自行推导每个整数$n\geq1$对应的积分
$$\int_0^{1\frac{(1-x)x}{n+1}}{\sin (\pi x)}dx\tag{2}$$
的具体表达式对我来说难度极大。

想请教各位：是否可以给出积分(2)的求值结果，从而将恒等式(1)改写为左端积分由含调和数的级数直接表示的形式？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user243301