求证存在与真子结构同构模型的理论T有同构于真子结构的无限模型及疑问

咱来一步步拆解这个问题，先解决证明部分，再回答后续的疑问：

一、证明理论$T$存在与自身真子结构同构的无限模型 #

假设理论$T$有一个模型$\mathcal{M}$，满足$\mathcal{M}$与它的某个真子结构$\mathcal{N}$同构（即$\mathcal{M} \cong \mathcal{N}$且$\mathcal{N} \subsetneq \mathcal{M}$）。我们可以从基数的角度直接推导：

• 首先，同构的结构必须具有相同的基数（元素个数），因为同构映射是双射，要求两个结构的元素一一对应。
• 如果$\mathcal{M}$是有限结构，那么它的真子结构$\mathcal{N}$的基数必然严格小于$\mathcal{M}$的基数（有限集合的真子集元素个数一定更少），这就和“同构结构基数相等”矛盾。因此，$\mathcal{M}$不可能是有限结构，只能是无限结构。

也就是说，这个满足条件的模型$\mathcal{M}$本身就是无限的，且它与自身的真子结构同构，直接证明了$T$存在这样的无限模型。

如果需要用紧致性定理构造另一个无限模型（补充思路）：

• 扩充原语言$\mathcal{L}$为$\mathcal{L}^+ = \mathcal{L} \cup {c_1, c_2, c_3, ...}$，添加可数个新常量符号。
• 构造理论$\Sigma = T \cup {c_i \neq c_j \mid i \neq j} \cup { \forall \bar{x} (\phi(\bar{x}) \leftrightarrow \phi(f(\bar{x}))) \mid \phi \text{是}\mathcal{L}\text{-公式} }$，其中$f$是$\mathcal{M}$到$\mathcal{N}$的同构映射。
• 验证$\Sigma$是有限一致的：任意有限子集$\Sigma_0 \subseteq \Sigma$，只涉及有限个常量$c_1,...,c_k$，我们可以在$\mathcal{M}$中为这些常量指派不同的元素（比如取$c_1 \in \mathcal{M} \setminus \mathcal{N}$，$c_2 \in \mathcal{N} \setminus f(\mathcal{N})$，以此类推），满足所有等式和同构条件。
• 根据紧致性定理，$\Sigma$有一个模型$\mathcal{M}'$，这个模型是无限的（因为所有$c_i$互不相同），且$\mathcal{M}'$与自身的某个真子结构同构（由同构条件保证）。

二、疑问解答：结构与自身真子结构同构是否必然无限？结论是否显然？ #

答案是必然无限，这个结论其实相当直观，核心逻辑很清晰：

• 同构的核心要求是存在双射，而双射的前提是两个集合的元素个数（基数）完全相等。
• 对于有限结构来说，它的真子结构的元素个数一定比原结构少，根本不可能存在双射，自然无法同构。
• 只有无限结构才能拥有和自身基数相等的真子结构（比如自然数集$\mathbb{N}$和它的真子集偶数集$2\mathbb{N}$，基数都是$\aleph_0$，通过映射$f(n)=2n$实现同构），从而满足“与自身真子结构同构”的条件。

所以这个结论是比较显然的，关键就是抓住“同构需要基数相等”这个核心点，再结合有限集合真子集的基数特性就能直接推导出来。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SekstusEmpiryk