非交换Noetherian整环链中间环的单性判定问询

你提的这个问题很有意思，在非交换环论里，交换场景下的结论（中间域必为域）不能直接推广过来，实际上存在满足所有给定条件但非单的中间环B，下面我给你构造一个具体的反例：

构造背景 #

首先我们从经典的非交换单Noetherian整环入手：第一个Weyl代数
A = ℂ⟨u, v⟩/(uv - vu - 1)
它是$\mathbb{C}$上的非交换整环，满足左右Noetherian，且是单环（没有非平凡双边理想）。记它的分式除环为$D(A)$，显然$A \subseteq D(A)$。

接下来构造单环$C$：我们构造$D(A)$上的2维斜二次扩张：

• 取$C = D(A) \oplus D(A)s$，其中$s$是一个新元素，满足$s^2 = u$（$u$是Weyl代数中的生成元）
• 定义$s$与$D(A)$中元素的乘法规则：对任意$d \in D(A)$，$sd = \sigma(d)s$，其中$\sigma$是$D(A)$的自同构，由Weyl代数的自同构延拓而来：$\sigma(u) = u$，$\sigma(v) = v + 1$

可以验证：

1. $C$是整环：假设$(a+bs)(c+ds)=0$，利用乘法规则展开后，结合$1$和$s$在$D(A)$上的线性无关性，可推出$a=b=0$或$c=d=0$，无零因子；
2. $C$是单环：任何非零理想要么包含$D(A)$中的非零元（进而包含单位元，因为$D(A)$是除环），要么包含$s$（进而包含$s^2=u$，$u$在$D(A)$中可逆，因此理想等于$C$）；
3. $C$是左右Noetherian整环，且$D(C)=C$（因为$C$本身是除环），$D(C)$作为$D(A)$-模的秩为2，满足有限秩条件。

构造非单的中间环B #

现在定义中间环$B$为$C$中所有形如$a + su \cdot b$的元素集合，其中$a,b \in A$，即：
B = A + suA

我们来验证$B$满足所有包含关系$A \subseteq B \subseteq C$，且是$\mathbb{C}$上非交换左右Noetherian整环，但不是单环：

• 包含关系显然成立，且$B$对加法和乘法封闭（利用$s$的乘法规则，展开后结果仍属于$B$）；
• $B$是左右Noetherian整环：因为$A$是Noetherian的，$B$作为$A$-模是有限生成的（由$1$和$su$生成），因此继承了Noetherian性质，且无零因子（作为整环$C$的子环）；
• $B$非单：考虑双边理想$I = suB$，即所有$su$乘以$B$中元素的集合。可以验证：
  1. $I$是双边理想：对任意$b_1,b_2 \in B$，$b_1 \cdot (su b_2)$和$(su b_1) \cdot b_2$都属于$suB$；
  2. $I$是非平凡的：$1 \notin I$（$I$中元素要么含$s$项，要么是$A$中形如$u^4 b$的元素，无法等于$1$），且$I \neq {0}$（比如$su \in I$）。

因此$B$是满足条件的非单环，说明原问题的答案是否定的——$B$不一定是单环。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user237522