有效数字丢失场景下$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$的相对误差计算疑问

Hey，咱们一步步把这个问题掰明白——先拆解原计算里10%相对误差的来龙去脉，再聊聊你提到的相对误差定义是否准确~

一、原计算中10%相对误差的推导逻辑 #

首先，先还原原计算的思路：

• 原计算通过6位有效数字的近似，得到$f(x)$的近似值是 0.5·10⁻²
• 要算相对误差，得先有绝对误差。咱们先化简原函数来求精确值：

  $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$
  代入精确的$x=12345$（也就是$0.12345·10^5$），计算得：$\sqrt{12345}≈111.1080555$，$\sqrt{12346}≈111.1125555$，两者之和≈222.220611，所以精确值$f(x)≈\frac{1}{222.220611}≈0.00449999≈0.45·10⁻²$

• 绝对误差就是精确值和近似值的差的绝对值：$|0.5·10⁻² - 0.45·10⁻²|=0.05·10⁻²=0.5·10⁻³$
• 原计算里直接用近似值作为分母计算相对误差：$\frac{0.5·10⁻³}{0.5·10⁻²}=10%$

这里要注意：原计算的做法是用近似值代替精确值做分母，属于一种简化的近似计算，但严格来说不符合相对误差的理论定义。

二、相对误差的正确定义 #

你提到的相对误差定义$\delta=\frac{\mid f(x_1)-f(x_2)\mid}{\mid f(x_1)\mid}$（其中$f(x_1)$为精确值，$f(x_2)$为近似值）是完全正确的。

按照这个严格定义重新计算：
$\delta=\frac{|0.45·10⁻² - 0.5·10⁻²|}{|0.45·10⁻²|}=\frac{0.5·10⁻³}{0.45·10⁻²}≈11.11%$

那为什么原计算用近似值做分母？在实际工程计算中，有时候精确值很难直接获取，会退而求其次用近似值代替，得到一个接近真实值的相对误差结果。但从数值分析的理论角度，必须以精确值作为分母，才能得到准确的相对误差。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者gbox