求单位区间上满足特定积分不等式的连续函数实例

首先咱们先拆解一下你提出的问题里的关键细节，先看看右边的级数：$S(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^2}x{n-1}$。

先算一下这个级数在$x=0$处的值：当$x=0$时，只有$n=1$的项是非零的（因为$n\geq2$时$x^{{n-1}=0$），而$\mu(1)=1$，所以$S(0)=\frac{1}{1}2}\times1=1$。但左边的积分$\int_0^0 f(u)du=0$，这就出现了矛盾：$0\geq1$显然不成立。

再看看$x\in(0,1]$时的情况：这个级数$S(x)$是单调递减的——求导后会发现，$S'(x)$的前几项都是负的，后续项的绝对值越来越小，整体在$(0,1)$上是负的，所以$S(x)$从$x=0$处的1递减到$x=1$处的$\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^{2}=\frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{\pi}2}\approx0.6079$。但左边的积分$\int_0^x f(u)du$是关于$x$的连续函数，在$x=0$处取0，所以在$x$足够接近0的时候，积分值会小于1，无法满足$\int_0^x f(u)du\geq S(x)$。

可能的修正方向及实例 #

如果是问题里的级数指数笔误（比如应该是$x^{n$而不是$x}{n-1}$），那情况就合理了：此时级数$T(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^2}xn$在$x=0$处为0，且在$[0,1]$上的最大值为$T(1)=\frac{6}{\pi^2}\approx0.6079$。这时候我们可以构造一个非常简单的连续函数：$f(x)=1$。

验证一下：$\int_0^x 1du=x$，而对于所有$x\in[0,1]$，$x\geq T(x)$——因为$T(x)=x - \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{9} + \cdots$，后续的项都是减去正数或者加上绝对值更小的正数，所以$T(x)$始终小于等于$x$，完全满足条件。

如果坚持原问题的级数形式，那这个问题其实是无解的，因为$x=0$处的矛盾无法解决，且积分作为连续函数在$x$趋近于0时无法追上趋近于1的级数值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user243301