连续函数与介值定理问题：证明单位圆存在对径点取相同函数值

Hey，这是针对这个问题的完整证明，思路清晰且严谨，我给你整理好了：

问题定义 #

设单位圆周 $S^1 := \lbrace(\cos\alpha, \sin\alpha) \subset \mathbb{R}^2 \mid \alpha \in \mathbb{R}\rbrace$，$f: S^1 \to \mathbb{R}$ 是连续函数。需要证明：存在一对对径点，使得 $f$ 在这两点的取值相等。

证明步骤 #

• 构造辅助函数
  定义函数 $\varphi: S^1 \to \mathbb{R}$：
  $$\varphi(\cos\alpha, \sin\alpha) = f(\cos\alpha, \sin\alpha) - f(-\cos\alpha, -\sin\alpha)$$
  由于 $f$ 是连续函数，连续函数的差仍保持连续性，因此 $\varphi$ 是 $S^1$ 上的连续函数。

• 分析辅助函数的对称性质
  对任意 $\alpha \in \mathbb{R}$，观察可得：
  $$\varphi(-\cos\alpha, -\sin\alpha) = f(-\cos\alpha, -\sin\alpha) - f(\cos\alpha, \sin\alpha) = -\varphi(\cos\alpha, \sin\alpha)$$
  这意味着 $\varphi$ 在对径点处的取值互为相反数。

• 分情况讨论并应用介值定理

  • 若存在某个 $\alpha_0 \in \mathbb{R}$，使得 $\varphi(\cos\alpha_0, \sin\alpha_0) = 0$，则直接有 $f(\cos\alpha_0, \sin\alpha_0) = f(-\cos\alpha_0, -\sin\alpha_0)$，这对 $(\cos\alpha_0, \sin\alpha_0)$ 和 $(-\cos\alpha_0, -\sin\alpha_0)$ 就是满足条件的对径点，结论成立。
  • 若对所有 $\alpha \in \mathbb{R}$，$\varphi(\cos\alpha, \sin\alpha) \neq 0$，根据上述对称性质，必然存在 $\alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}$，使得：
    $$\varphi(\cos\alpha_1, \sin\alpha_1) > 0$$
    且
    $$\varphi(\cos\alpha_2, \sin\alpha_2) < 0$$
    因为 $S^1$ 是连通集，且 $\varphi$ 在其上连续，根据介值定理，在连接这两点的圆周弧上，一定存在一点 $(\cos\alpha^, \sin\alpha^)$，使得 $\varphi(\cos\alpha^, \sin\alpha^) = 0$，即 $f(\cos\alpha^, \sin\alpha^) = f(-\cos\alpha^, -\sin\alpha^)$，结论得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lucas