狭义/广义相对论张量符号理解及矩阵形式推导疑问

嘿，我来帮你把这两个张量符号的推导理清楚——这部分刚开始确实容易绕，尤其是指标和矩阵转置的对应关系，咱们一步一步来拆解：

第一个疑问：求和项与$\Lambda^T\eta\Lambda$的对应关系 #

首先得把张量指标和矩阵行/列的对应关系搞明白，这是核心：

• 对于混合张量$\Lambda^{\mu_\beta$，我们通常把**上标$\mu$当作矩阵的行标，下标$\beta$当作矩阵的列标**，也就是矩阵$\Lambda$的第$\mu$行、第$\beta$列元素就是$\Lambda}\mu_\beta$。
• 矩阵转置的本质是行和列互换，所以转置矩阵$\Lambda^T$的第$\alpha$行、第$\mu$列元素，就等于原矩阵$\Lambda$的第$\mu$行、第$\alpha$列元素，也就是：
  $$(\Lambda^T){\alpha\mu} = \Lambda^\mu\alpha$$

接下来看你提到的求和项：
$$\sum_{\mu = 0}^{3} \Lambda ^{\mu}{;\alpha}(\eta \Lambda){\mu\beta}$$

先回忆矩阵乘法的定义：两个矩阵$A$和$B$的乘积$AB$的第$i$行、第$j$列元素是$\sum_k A_{ik}B_{kj}$。现在把上面的求和套进这个定义里：

• 把$\Lambda^{\mu_\alpha$替换成转置矩阵的元素$(\Lambda}T)_{\alpha\mu}$（对应转置矩阵的第$\alpha$行、第$\mu$列）；
• $(\eta\Lambda)_{\mu\beta}$是矩阵$\eta\Lambda$的第$\mu$行、第$\beta$列元素；

那这个求和就变成了：
$$\sum_{\mu} (\Lambda^T){\alpha\mu} \cdot (\eta\Lambda){\mu\beta}$$
这不就是矩阵$\Lambda^{T$（行$\alpha$）乘以矩阵$\eta\Lambda$（列$\beta$）的第$\alpha\beta$个元素吗？所以直接写成矩阵乘积的形式就是$(\Lambda}T\eta\Lambda)_{\alpha\beta}$。

第二个疑问：双求和到$F_{\beta\alpha}$的推导 #

这里的关键是度规张量的升降指标作用：度规$\eta_{\mu\nu}$的核心功能就是把逆变张量（带上标的张量，比如$F^{\mu\nu}$）转换成协变张量（带下标的张量，比如$F_{\beta\alpha}$），每一次升降指标都对应一次和度规的缩并（也就是求和）。

咱们分步拆解这个双求和：
$$\sum_{\mu = 0}^{3}\sum_{\nu = 0}^{3}\eta_{\alpha \nu }\eta_{\beta \mu }F^{\mu\nu}$$

1. 先处理对$\mu$的求和：$\sum_\mu \eta_{\beta\mu}F^{\mu\nu}$
   这一步是用$\eta_{\beta\mu}$把$F^{\mu\nu}$的第一个上标$\mu$降成下标$\beta$，得到混合张量$F_{\beta\nu}$：
   $$F_{\beta\nu} = \sum_\mu \eta_{\beta\mu}F^{\mu\nu}$$

2. 再处理对$\nu$的求和：$\sum_\nu \eta_{\alpha\nu}F_{\beta\nu}$
   这一步是用$\eta_{\alpha\nu}$把$F_{\beta\nu}$的第二个上标$\nu$（这里$F_{\beta\nu}$的$\nu$是从$F^{\mu\nu}$的上标降下来的）继续降标，最终得到协变张量$F_{\beta\alpha}$。

换个顺序看更直观：先对$\nu$求和得到$\sum_\nu \eta_{\alpha\nu}F^{\mu\nu} = F^\mu_\alpha$（把第二个上标$\nu$降成下标$\alpha$），再对$\mu$求和得到$\sum_\mu \eta_{\beta\mu}F^\mu_\alpha = F_{\beta\alpha}$（把第一个上标$\mu$降成下标$\beta$）。

本质上，双求和就是连续对$F^{\mu\nu}$的两个上标做缩并：$\eta_{\beta\mu}$负责降第一个上标$\mu$，$\eta_{\alpha\nu}$负责降第二个上标$\nu$，最后得到的协变张量的指标顺序就是$\beta$（对应第一个降标）和$\alpha$（对应第二个降标），也就是$F_{\beta\alpha}$。

另外补充一点：因为乘法和求和的顺序不影响结果，所以$\sum_{\mu\nu} \eta_{\alpha\nu}\eta_{\beta\mu}F^{\mu\nu}$和$\sum_{\mu\nu} \eta_{\beta\mu}\eta_{\alpha\nu}F^{\mu\nu}$是完全等价的，这也对应了协变张量$F_{\beta\alpha}$的定义式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Chopin