已知均值的正态分布下lnσ的95%近似置信区间求解及σ区间推导

你的推导过程完全正确！咱们一步步验证每一步的合理性，再完成置信区间的构造：

一、推导正确性验证 #

1. σ的MLE计算：
   已知μ时，正态分布的似然函数对数形式为：
   $$\ln L(\sigma) = -\frac{n}{2}\ln(2\pi) - n\ln\sigma - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}n(X_i-\mu)^2$$
   对σ求导并令导数为0，解得$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)2$，因此$\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)2}$，这和你的结果一致。

2. $\hat{\sigma}$的渐近分布：
   根据MLE的渐近正态性，$\sqrt{n}(\hat{\sigma} - \sigma)$渐近服从均值为0、方差为费希尔信息倒数的正态分布。计算费希尔信息：
   $$I(\sigma) = -E\left[\frac{d^2\ln L}{d\sigma^2}\right] = \frac{2n}{\sigma^2}$$
   因此$\hat{\sigma} \approx N\left(\sigma, \frac{\sigma^2}{2n}\right)$，你的这一步推导完全正确。

3. delta方法得到$\hat{\psi}$的渐近分布：
   令$\psi = g(\sigma) = \ln\sigma$，其导数$g'(\sigma) = \frac{1}{\sigma}$。根据delta方法，$\hat{\psi} = g(\hat{\sigma})$的渐近方差为$(g'(\sigma))^2 \times \text{Var}(\hat{\sigma}) = \frac{1}{\sigma^2} \times \frac{\sigma^2}{2n} = \frac{1}{2n}$，因此$\hat{\psi} \approx N\left(\ln\sigma, \frac{1}{2n}\right)$，这一步也没问题。

二、构造ψ的近似95%置信区间 #

由于$\hat{\psi}$渐近服从正态分布$N\left(\ln\sigma, \frac{1}{2n}\right)$，标准化后：
$$\frac{\hat{\psi} - \ln\sigma}{\sqrt{\frac{1}{2n}}} \approx N(0,1)$$
对于95%置信水平，标准正态分布的双侧分位数$z_{0.025}=1.96$，因此有：
$$P\left( \left| \hat{\psi} - \ln\sigma \right| \leq 1.96\sqrt{\frac{1}{2n}} \right) \approx 0.95$$
整理得到ψ的近似95%置信区间：
$$\left[ \hat{\psi} - 1.96\sqrt{\frac{1}{2n}}, \hat{\psi} + 1.96\sqrt{\frac{1}{2n}} \right]$$
其中$\hat{\psi} = \ln\hat{\sigma} = \frac{1}{2}\ln\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)2 \right)$。

三、得到σ的近似95%置信区间 #

因为指数函数是严格单调递增的，我们可以对ψ的置信区间两端取指数，得到σ的近似95%置信区间：
$$\left[ \exp\left( \hat{\psi} - 1.96\sqrt{\frac{1}{2n}} \right), \exp\left( \hat{\psi} + 1.96\sqrt{\frac{1}{2n}} \right) \right]$$
代入$\hat{\psi} = \ln\hat{\sigma}$，可以化简为：
$$\left[ \hat{\sigma} \cdot \exp\left( -\frac{1.96}{\sqrt{2n}} \right), \hat{\sigma} \cdot \exp\left( \frac{1.96}{\sqrt{2n}} \right) \right]$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者glowstonetrees