线性方程组AX=B的齐次基与通解求解及相关疑问
嘿，我来给你把这个线性代数的问题掰扯清楚，一步步来，你就明白为啥参考解答里会有那个式子了～
首先，咱们先把非齐次线性方程组解的核心性质拎出来，这是解题的关键：
假设$X_1, X_2, X_3$是$AX=B$（$B≠0$）的解，那有两个核心结论：
- 任意两个解的差，都是齐次方程组$AX=0$的解，比如你已经推导的$A(X_1-X_2)=0$，这个很好理解；
- 如果把这些解做线性组合，只要组合的系数加起来等于0，那这个组合也是$AX=0$的解。为啥？因为$A(k_1X_1+k_2X_2+k_3X_3)=k_1B+k_2B+k_3B=(k_1+k_2+k_3)B$，系数和为0的话，结果就是0，自然满足$AX=0$。
第一步：先搞清楚$AX=0$的基础解系需要几个向量
已知矩阵$A$的秩$r_A=n-2$，根据齐次线性方程组的基础解系维度公式：基础解系中解向量的个数 = n - 矩阵A的秩
代入数值就是$n - (n-2)=2$，也就是说咱们需要找到2个线性无关的齐次解向量，就能构成$AX=0$的一个基。
第二步：构造齐次解向量，解答你的疑问
你已经找到了第一个齐次解$\xi_1=X_1-X_2$，这完全没问题。那参考解答里的$2X_1 - X_2 - X_3$是咋来的？咱们算一下就懂了：
因为$AX_1=AX_2=AX_3=B$，所以：
$$A(2X_1 - X_2 - X_3)=2AX_1 - AX_2 - AX_3=2B - B - B=0$$
你看，这个组合的系数是2、-1、-1，加起来刚好是0，符合咱们刚才说的第二个性质，所以它自然是$AX=0$的解，记为$\xi_2=2X_1 - X_2 - X_3$。
接下来得确认$\xi_1$和$\xi_2$是线性无关的，不然没法当基：
假设存在常数$k_1,k_2$，使得$k_1\xi_1 + k_2\xi_2=0$，代入展开：
$$k_1(X_1-X_2) + k_2(2X_1 - X_2 - X_3)=0$$
整理成$X_1,X_2,X_3$的组合：
$$(k_1 + 2k_2)X_1 + (-k_1 -k_2)X_2 + (-k_2)X_3=0$$
题目里明确说$X_1,X_2,X_3$是线性无关的，所以这三个向量的系数必须全为0，得到方程组：
$$\begin{cases}
k_1 + 2k_2=0 \
-k_1 -k_2=0 \
-k_2=0
\end{cases}$$
解这个方程组，从第三个方程直接得到$k_2=0$，代入第二个方程得$k_1=0$，说明只有零解能让等式成立，那$\xi_1$和$\xi_2$就是线性无关的。
这样一来，${\xi_1, \xi_2}$就是$AX=0$的一个基础解系（也就是你说的“基”）。
第三步：求$AX=B$的通解集合
非齐次线性方程组的通解结构很简单：通解 = 一个特解 + 齐次方程组的通解
咱们随便取一个特解，比如$X_1$，那$AX=B$的通解集合就是：
$${X_1 + k_1(X_1-X_2) + k_2(2X_1 - X_2 - X_3) \mid k_1,k_2 \in \mathbb{R}}$$
当然，你也可以选$X_2$或者$X_3$当特解，写出来的形式会有点不一样，但本质是同一个解集合，没问题的。
补充一句：其实还有其他构造齐次解的方式
只要是系数和为0的$X_1,X_2,X_3$的线性组合，都是$AX=0$的解，比如$X_1+X_2-2X_3$也行，只要保证和$\xi_1$线性无关就可以，参考解答里的那个只是其中一种常用的构造方式而已。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Patryk
