非标准权函数√|x|³下三次多项式精确高斯求积公式求解问询

首先直接回答你的疑问：$\sqrt{|x|}^{3$（也就是$|x|}{3/2}$）完全是合法的权函数。权函数的定义很简单：只要在积分区间$[-1,1]$上非负、可积，且不恒为零，就可以作为高斯求积的权函数——不用局限于Legendre（$w(x)=1$）或Chebyshev（$w(x)=1/\sqrt{1-x^{2}$）这类标准权函数。这里$w(x)=|x|}{3/2}$在$[-1,1]$上处处非负，积分$\int_{-1}^1 |x|^{3/2}dx = 2\int_0^1 x^{3/2}dx = 4/5$是有限值，完全符合要求。

接下来我们先解决你的具体问题：构造能精确计算$\int_{-1}^1 f(x)|x|^{3/2}dx$（$f(x)$为任意三次多项式）的高斯求积公式，再延伸到一般权函数的构造方法。

一、确定所需的高斯节点数 #

高斯求积的核心性质是：$n$个节点的公式能精确计算次数$\leq 2n-1$的多项式。我们需要精确计算三次多项式，即$2n-1 \geq 3$，解得$n\geq2$——所以用2个节点就足够了。

二、构造关于$w(x)=|x|^{3/2}$的正交多项式 #

高斯节点是对应权函数的$n$次正交多项式的根，所以先构造正交多项式序列：

1. 0次多项式：$\phi_0(x)=1$，这是最基础的正交多项式。
2. 1次多项式：$\phi_1(x)=x$。因为$w(x)$是偶函数，$x$是奇函数，它们的乘积是奇函数，积分$\int_{-1}^1 w(x)\phi_0(x)\phi_1(x)dx = 0$，自动满足和$\phi_0(x)$正交。
3. 2次多项式：设$\phi_2(x)=x^2 + c$，需要满足和$\phi_0(x)$正交（和$\phi_1(x)$的乘积是奇函数，积分自动为0）。根据正交性要求：
   $$\int_{-1}^1 w(x)\phi_0(x)\phi_2(x)dx = 0$$
   代入计算：
   $$\int_{-1}^1 |x|^{3/2}(x2 + c)dx = 2\int_0^1 x^{3/2}(x2 + c)dx = 2\left(\frac{2}{9} + \frac{2c}{5}\right) = 0$$
   解得$c=-\frac{5}{9}$，所以$\phi_2(x)=x^2 - \frac{5}{9}$。

三、求高斯节点 #

令$\phi_2(x)=0$，解得$x^2=\frac{5}{9}$，即两个对称节点：
$$x_1=\frac{\sqrt{5}}{3}, \quad x_2=-\frac{\sqrt{5}}{3}$$

四、计算求积系数 #

因为权函数和节点都是对称的，所以两个系数相等，设为$A$。利用0次多项式$f(x)=1$的积分精确性：
$$\int_{-1}^1 w(x)\cdot1 dx = A\cdot1 + A\cdot1$$
左边积分结果是$\frac{4}{5}$，所以$2A=\frac{4}{5}$，解得$A=\frac{2}{5}$。即$A_1=A_2=\frac{2}{5}$。

五、验证精确性 #

对任意三次多项式$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x3$，代入求积公式：
$$\int_{-1}^1 f(x)|x|^{3/2}dx \approx \frac{2}{5}f\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) + \frac{2}{5}f\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$$
分别验证基函数：

• $f(x)=1$：左边$\frac{4}{5}$，右边$\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{4}{5}$，相等；
• $f(x)=x$：左边0（奇函数积分），右边$\frac{2}{5}\left(\frac{\sqrt{5}}{3}-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=0$，相等；
• $f(x)=x^2$：左边$\frac{4}{9}$，右边$\frac{2}{5}\left(\frac{5}{9}+\frac{5}{9}\right)=\frac{4}{9}$，相等；
• $f(x)=x^{3$：左边0，右边$\frac{2}{5}\left(\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}3 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^3\right)=0$，相等。
  完全满足对三次多项式的精确性要求。

延伸：一般权函数的高斯求积构造步骤 #

对于任意合法权函数$w(x)$，通用流程如下：

• 确定节点数：根据需要精确计算的多项式最高次数$m$，取最小的$n$满足$2n-1\geq m$；
• 构造正交多项式：用Gram-Schmidt正交化方法，从$\phi_0(x)=1$开始，依次构造$\phi_1(x),\dots,\phi_n(x)$，满足$\int_a^b w(x)\phi_i(x)\phi_j(x)dx=0$（$i\neq j$）；
• 求节点：解$\phi_n(x)=0$，得到$n$个根，就是高斯节点；
• 计算系数：可以通过解线性方程组（利用对$1,x,\dots,x^{{n-1}$的精确性），或者用拉格朗日基函数的积分公式$A_k=\int_a}b w(x)\left[L_k(x)\right]^2dx$（$L_k(x)$是第$k$个拉格朗日基函数），对称权函数可以利用对称性简化计算。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mary Star