$\mathbb{F}_{25}^\times$中范数为1的元素求解困惑及问题排查

首先，你定义的$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]/5 = {x + y\sqrt{2} \mid x, y \in \mathbb{Z}/5}$完全正确，范数$N(x+y\sqrt{2}) = x^2 - 2y^2$（模5计算）的定义也没问题。你说没找到范数为1的元素，应该是枚举时漏掉了部分情况，咱们一步步拆解验证：

先整理$\mathbb{Z}/5$里所有数的平方结果，这是计算范数的基础：

• $0^2 \equiv 0$，$1^2 \equiv 1$，$2^2 \equiv 4$，$3^2 \equiv 9 \equiv 4$，$4^2 \equiv 16 \equiv 1$
  也就是说，模5的平方数只有0、1、4三种可能。

接下来逐个代入y的取值（0到4），寻找满足$x^2 - 2y^2 \equiv 1 \pmod{5}$的x：

• 当$y=0$时，方程简化为$x^2 \equiv 1 \pmod{5}$，x=1或4都满足，对应元素是$1+0\sqrt{2}=1$和$4+0\sqrt{2}=4$，它们的范数分别是$1^2 - 0 = 1$和$4^2 - 0 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$，这俩就是范数为1的元素；
• 当$y=1$或$y=4$时，$2y^2 \equiv 2*1 = 2 \pmod{5}$，方程变成$x^2 \equiv 1+2=3 \pmod{5}$，但模5的平方数里没有3，所以这两种情况无解；
• 当$y=2$或$y=3$时，$2y^2 \equiv 2*4 = 8 \equiv 3 \pmod{5}$，方程变成$x^2 \equiv 1+3=4 \pmod{5}$，x=2或3都满足，对应元素及范数：
  • $2+2\sqrt{2}$：$2^2 - 2*(2^2) = 4 - 8 = -4 \equiv 1 \pmod{5}$
  • $3+2\sqrt{2}$：$3^2 - 2*(2^2) = 9 - 8 = 1 \equiv 1 \pmod{5}$
  • $2+3\sqrt{2}$：$2^2 - 2*(3^2) = 4 - 18 = -14 \equiv 1 \pmod{5}$
  • $3+3\sqrt{2}$：$3^2 - 2*(3^2) = 9 - 18 = -9 \equiv 1 \pmod{5}$

所以实际上一共有6个范数为1的元素：$1, 4, 2+2\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2}, 2+3\sqrt{2}, 3+3\sqrt{2}$。你之前可能没考虑到y=0或者y=2/3的情况，才漏掉了解。

额外补充一点：$\mathbb{F}_{25}^{\times$是24阶循环群，范数映射是到$\mathbb{F}_5}\times$（4阶循环群）的群同态，根据群同态性质，范数为1的元素构成的子群阶数是24/4=6，和我们找到的元素数量一致，这也验证了结果的正确性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Blake