均匀分布下三个估计量的极大似然估计（MLE）判定问题

咱们来好好捋一捋这个关于均匀分布参数$\theta$的极大似然估计（MLE）的问题哈：

设$X_1,X_2,\dots,X_{2n}$是来自均匀分布$U(\theta,\theta+1)$的随机样本，考虑以下三个用于估计$\theta$（$\theta\in \mathbb{R}$）的估计量：
$$T_1=x_{(n)}$$
$$T_2=\dfrac{x_{(1)}+x_{(n)}}{2}$$
$$T_3=\dfrac{x_{(1)}+x_{(n)}}{2}-\dfrac{1}{2}$$

可选答案： #

• (A) $T_1$和$T_3$均为$\theta$的MLE，$T_2$不是；
• (B) $T_3$是$\theta$的唯一MLE；
• (C) $T_3$是$\theta$的MLE，$T_1$和$T_2$不是；
• (D) $T_1$和$T_2$均为$\theta$的MLE，$T_3$不是。

分析过程： #

首先明确均匀分布$U(\theta,\theta+1)$的MLE核心要求：所有满足$\theta \leq x_{(1)}$且$x_{(2n)} \leq \theta+1$的统计量（即落在区间$[x_{(2n)}-1, x_{(1)}]$内的统计量）都是$\theta$的MLE（其中$x_{(1)}$是样本最小值，$x_{(2n)}$是样本最大值）。

结合这个要求逐一分析三个估计量：

• $T_1=x_{(n)}$：作为样本的第n个顺序统计量，它大概率会大于$x_{(2n)}-1$（因为$x_{(n)} \leq x_{(2n)}$，$x_{(n)} > x_{(2n)}-1$是常见情况），超出了$\theta$的可行区间，因此不能作为$\theta$的MLE；
• $T_2=\dfrac{x_{(1)}+x_{(n)}}{2}$：由于$x_{(n)} \geq x_{(1)}$，这个值会大于等于$x_{(1)}$，而$\theta$的上限是$x_{(1)}$，所以$T_2$超出了可行区间，不符合要求；
• $T_3=\dfrac{x_{(1)}+x_{(n)}}{2}-\dfrac{1}{2}$：可以验证它落在$[x_{(2n)}-1, x_{(1)}]$区间内，满足MLE的要求，因此是$\theta$的MLE。

综上，正确选项为**(C)**。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DSR