求证：极小多项式为$(x-\lambda)$的线性算子$T$可对角化

没问题，这是线性代数里一个直观且关键的结论，我一步步给你拆解证明过程：

1. 从极小多项式推导$T$的本质 #

首先回忆极小多项式的核心定义：极小多项式$m_T(x)$是满足$m_T(T)=0$的次数最低的首一多项式。题目给出$m_T(x)=(x-\lambda)$，将算子$T$代入这个多项式，直接可得：
$$m_T(T) = T - \lambda I = 0$$
这里的$I$是向量空间$V$上的恒等算子。移项后就能得到：
$$T = \lambda I$$
也就是说，$T$是一个标量算子——它对$V$中任意向量$v$的作用都是$T(v)=\lambda v$。

2. 验证$T$符合可对角化的定义 #

线性算子可对角化的定义是：存在$V$的一组基，使得$T$在这组基下的矩阵为对角矩阵。

对于$T=\lambda I$来说，不管选取$V$的哪一组基${v_1, v_2, ..., v_n}$，$T$作用在每个基向量上都是$T(v_i)=\lambda v_i$。转换成矩阵形式后，得到的就是对角矩阵，对角线上所有元素都是$\lambda$——完全满足可对角化的要求。

3. 用可对角化判别法再验证（可选） #

还有一个常用的可对角化等价条件：线性算子可对角化当且仅当其极小多项式可分解为域$\mathbb{K}$上不同一次因式的乘积。

题目中的$m_T(x)=(x-\lambda)$本身就是一次因式，且没有重根（次数为1，自然不存在重根），完全符合这个判别法的条件，因此$T$必然可对角化。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user156106