是否存在连续函数f:ℝ→ℝ满足f∘f(x)=-x？求证咨询

你猜的完全正确——这样的连续函数确实不存在，我们可以通过连续函数的单调性和双射性质来严谨证明：

第一步：先证明$f$是双射函数 #

从条件$f(f(x)) = -x$出发：

• 单射性：如果$f(x_1) = f(x_2)$，那么$f(f(x_1)) = f(f(x_2))$，代入条件得$-x_1 = -x_2$，即$x_1 = x_2$，所以$f$是单射。
• 满射性：对任意实数$y$，取$x = -f(y)$，则$f(x) = f(-f(y)) = -f(f(y)) = -(-y) = y$，所以$f$是满射。

第二步：利用连续双射函数的单调性 #

在实数域上，连续的双射函数必然是严格单调的（要么严格递增，要么严格递减），我们分两种情况讨论：

• 如果$f$严格递增，那么复合函数$f(f(x))$也会严格递增（递增函数的复合仍保持递增性），但$-x$是严格递减的函数，两者单调性矛盾；
• 如果$f$严格递减，那么复合函数$f(f(x))$会严格递增（递减函数与递减函数复合后变为递增），同样和$-x$的严格递减性矛盾。

两种情况都导出矛盾，因此不存在满足条件的连续函数$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anu