关于u''(x)+u(x)=0有限差分近似矩阵推导及特征值的疑问

我正在对二阶常微分方程：
$$u''(x)+u(x)=0$$
（边界条件为 $u(0)=1, u(\pi)=-1$）进行有限差分近似，推导得到的近似式如下：
$$\frac{1}{h^2}(U_{j-1}-2U_j+U_{j+1})+U_j = 0$$
整理后变为：
$$\frac{1}{h^{2}(U_{j-1}+(h}2-2)U_j+U_{j+1}) = 0$$

基于这个式子，我认为对应的系数矩阵A的主对角线元素为 $h^2-2$、上下次对角线元素为1，但我尝试证明当 $h \to 0$ 时原ODE的特征值趋近于0，这和该矩阵的特性不匹配，所以怀疑矩阵推导有误，希望能得到解答。

问题分析与修正 #

咱们一步步来梳理问题所在：

1. 差分方程的系数提取误区

你的差分近似本身是对的，但在构造系数矩阵时，混淆了提取公因子后的括号项和实际方程系数。原差分方程展开后是：
$$\frac{1}{h^2}U_{j-1} - \frac{2}{h^2}U_j + \frac{1}{h^2}U_{j+1} + U_j = 0$$
合并同类项后，标准的线性方程形式应该是：
$$\frac{1}{h^2}U_{j-1} + \left(1 - \frac{2}{h^2}\right)U_j + \frac{1}{h^2}U_{j+1} = 0$$

这才是对应线性方程组 $A\mathbf{U} = \mathbf{b}$ 中，矩阵 $A$ 的行元素：

• 主对角线元素：$1 - \frac{2}{h^2}$
• 上下次对角线元素：$\frac{1}{h^2}$

你之前错误地把提取 $\frac{1}{h^2}$ 后的括号内数值当成了矩阵元素，忽略了这个公因子的存在，这是核心问题。

2. 矩阵构造与边界条件的结合

另外要注意，边界条件 $u(0)=1$ 和 $u(\pi)=-1$ 是已知的，所以在构造 $N$ 阶矩阵（对应内部 $N$ 个网格点）时，第一行和最后一行需要结合边界值调整：

• 对于第一个内部点 $j=1$，$U_0=1$，方程变为：$\frac{1}{h^2} \times 1 + \left(1 - \frac{2}{h^2}\right)U_1 + \frac{1}{h^2}U_2 = 0$，对应矩阵第一行的第一个元素是 $\left(1 - \frac{2}{h^2}\right)$，第二个是 $\frac{1}{h^2}$，同时右侧向量 $\mathbf{b}$ 的第一个元素是 $-\frac{1}{h^2}$
• 同理，最后一个内部点 $j=N$，$U_{N+1}=-1$，方程调整后右侧向量对应元素为 $\frac{1}{h^2}$

3. 特征值的验证修正

原ODE $u'' + u = 0$ 的特征值是 $\lambda_n = n^2$（$n=1,2,3,...$），对应特征函数为 $\sin(nx)$、$\cos(nx)$。当 $h \to 0$ 时，有限差分矩阵的特征值应该趋近于这些连续特征值。

用修正后的矩阵来看，当 $h \to 0$ 时，主对角线元素 $1 - \frac{2}{h^2}$ 趋近于 $-\infty$，但结合次对角线的 $\frac{1}{h^2}$，矩阵的特征值可以近似为 $\frac{4}{h^2}\sin2\left(\frac{n\pi h}{2}\right) - 1$，当 $h \to 0$ 时，$\sin\left(\frac{n\pi h}{2}\right) \approx \frac{n\pi h}{2}$，代入后特征值趋近于 $n^2$，完全符合原ODE的特征值特性，这就解决了你之前的矛盾。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者MathIsHard