技术问询：求$\mathbb{R}^2$中直线$y=2x+4$到原点的最近点及距离

嘿，你已经抓准了核心思路——最近点与原点的连线确实垂直于这条直线，接下来咱们一步步把具体点和距离算出来：

步骤1：确定垂线的方程 #

直线$y=2x+4$的斜率是2，根据垂直直线斜率乘积为-1的性质，过原点且与它垂直的直线斜率为$-\frac{1}{2}$，所以这条垂线的方程是：

y = -1/2 x

步骤2：求两条直线的交点（即最近点） #

联立原直线和垂线的方程：

y = 2x + 4
y = -1/2 x

把第二个方程代入第一个，解x：
$$
-\frac{1}{2}x = 2x + 4 \
-\frac{1}{2}x - 2x = 4 \
-\frac{5}{2}x = 4 \
x = -\frac{8}{5}
$$
再把$x=-\frac{8}{5}$代入垂线方程求y：
$$
y = -\frac{1}{2} \times (-\frac{8}{5}) = \frac{4}{5}
$$
所以直线上距离原点最近的点是$\boldsymbol{(-\frac{8}{5}, \frac{4}{5})}$。

步骤3：计算该点到原点的距离 #

用欧几里得范数（即两点间距离公式）计算：
$$
\text{距离} = \sqrt{(-\frac{8}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{\frac{64}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{80}{25}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}
$$
也可以用点到直线的距离公式验证：把原直线写成标准式$2x - y + 4 = 0$，原点到它的距离为$\frac{|4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$，结果完全一致。

额外方法：用微积分求最小值 #

如果你熟悉微积分，也可以通过最小化距离平方来求解：
设直线上任意点为$(x, 2x+4)$，距离平方为$f(x) = x^2 + (2x+4)^2$，对x求导：
$$
f'(x) = 2x + 2(2x+4) \times 2 = 10x + 16
$$
令导数为0，解得$x=-\frac{8}{5}$，和之前的结果相同，再代入得到y值即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者w1400336