Banach空间有界线性算子求证：x₀∉{x-Tx | x∈X}

设$T:X\rightarrow X$是Banach空间$X$到自身的有界线性算子，满足$|T| \leq 1$，且存在非零元$x_0\in X$使得$T(x_0)=x_0$。需证明$x_0\notin {x-Tx \mid x\in X }$，尝试通过$|x_0-(x-Tx)|=0$代入推导矛盾但未果，求解题提示。

别着急，换个思路试试——咱们从反证法+迭代推导入手，一步步推出矛盾：

• 先假设结论不成立：即存在某个$x\in X$，使得$x_0 = x - Tx$。把这个式子变形一下，得到$x = x_0 + Tx$。
• 接下来对这个式子反复迭代：
  第一次迭代：$x = x_0 + T(x_0 + Tx) = x_0 + Tx_0 + T^2x$，因为$Tx_0=x_0$，所以化简为$x = 2x_0 + T^2x$；
  第二次迭代：$x = 2x_0 + T^2(x_0 + Tx) = 3x_0 + T^3x$；
  以此类推，对任意正整数$n$，都能得到$x = nx_0 + T^nx$。
• 现在对等式两边取范数，利用范数的三角不等式：
  $$|x| = |nx_0 + T^nx| \geq n|x_0| - |T^nx|$$
• 结合已知条件$|T| \leq 1$，可得$|T^nx| \leq |T|^n|x| \leq |x|$，把这个代入上面的不等式：
  $$|x| \geq n|x_0| - |x|$$
• 整理一下就有$2|x| \geq n|x_0|$。但$x_0$是非零元，$|x_0|>0$，当$n$取任意大的正整数时，右边会趋向无穷大，可左边是固定的$2|x|$，这显然矛盾！

这样就通过反证法证明了$x_0$不属于那个集合啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anton V.