能否在结构$\mathfrak{Q}=(\mathbb{Q},<)$上定义自同构？求实例及证明思路

先直接回应你的核心疑问：这个结构不仅存在自同构，而且有大量的自同构，完全可以用来解决你关于0不可定义的问题。

一、具体的自同构实例 #

这里给几个简单直观的例子，你可以直接验证它们满足自同构的核心要求（双射+保序，即对任意$a,b\in\mathbb{Q}$，$a < b$当且仅当$\phi(a) < \phi(b)$）：

• 平移映射：$\phi(x) = x + r$，其中$r$是任意有理数。比如取$r=1$，$\phi(x)=x+1$：
  • 双射性：对任意$y\in\mathbb{Q}$，存在唯一的$x=y-1\in\mathbb{Q}$使得$\phi(x)=y$，满足双射要求。
  • 保序性：显然$a < b$等价于$a+1 < b+1$，完全保持$<$的序关系。
• 正缩放映射：$\phi(x) = qx$，其中$q$是任意正有理数。比如取$q=2$，$\phi(x)=2x$：
  • 双射性：逆函数是$\phi^{-1}(x)=x/2$，同样是$\mathbb{Q}$到自身的映射，满足双射要求。
  • 保序性：因为$q>0$，所以$a < b$等价于$qa < qb$，完美保持序关系。
• 一般仿射映射：$\phi(x) = qx + r$，其中$q\in\mathbb{Q}^+$，$r\in\mathbb{Q}$。这是上面两种情况的结合，同样满足双射和保序的条件，你可以自行验证。

二、用自同构证明0不可定义 #

你的目标是证明不存在${<}$中的公式能在$\mathfrak{Q}$中定义出单点集${0}$，用自同构的方法非常直接：

假设存在公式$\psi(x)$，使得$\mathfrak{Q}\models\psi(a)$当且仅当$a=0$。那么对于$\mathfrak{Q}$的任意自同构$\phi$，根据自同构的基本性质，$\mathfrak{Q}\models\psi(a)$当且仅当$\mathfrak{Q}\models\psi(\phi(a))$。

现在我们取之前的平移自同构$\phi(x)=x+1$，它把0映射到1。按照上面的性质，如果$\psi(0)$成立，那么$\psi(1)$也必须成立，但这和$\psi(x)$仅定义0矛盾。所以不存在这样的公式，即0在$\mathfrak{Q}=(\mathbb{Q},<)$中是不可定义的。

为什么你之前觉得难以构造？ #

你提到“仅依靠<运算符难以构造函数”，可能是混淆了“构造结构的自同构”和“用语言${<}$中的公式定义函数”这两个概念。自同构是结构上的映射，只需要满足双射和保序，不需要用语言中的公式来描述；而你要证明的是0不能被语言中的公式定义，恰恰可以利用这些不保持0的自同构来完成证明——这也是模型论中常用的“自同构不变性”技巧。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者multiplex