单位向量生成困惑：关于两个向量归一化等式的疑问

嘿，我来帮你理清这个困惑的点，核心其实就是单位向量的定义：将任意非零向量除以它自身的模长，就能得到与原向量同方向的单位向量。咱们逐个拆解这两个等式：

第一个等式的推导 #

先看第一个式子的分母：||cos φ \vec{i} + sin φ \vec{j}||
根据二维向量的模长计算公式，对于向量a\vec{i} + b\vec{j}，它的模长是√(a² + b²)。代入这里的系数：

||cos φ \vec{i} + sin φ \vec{j}|| = √(cos²φ + sin²φ)

根据三角函数的平方恒等式cos²φ + sin²φ = 1，所以这个模长的结果就是√1 = 1。
那分子除以1自然等于分子本身，所以第一个等式成立——其实这个分子向量本身就是一个单位向量，因为它的模长本来就是1。

第二个等式的推导 #

再看第二个式子，你之前的误区是误以为分母为1，但实际计算下来并非如此：
先算分母||-R sin φ \vec{i} + R cos φ \vec{j}||，这里可以先把常数R提出来（向量模长的性质：||k*向量|| = |k| * ||向量||，这里R应该是正数，比如几何里的半径，所以|R|=R）：

||-R sin φ \vec{i} + R cos φ \vec{j}|| = R * ||-sin φ \vec{i} + cos φ \vec{j}||

接下来计算里面这个向量的模长：

||-sin φ \vec{i} + cos φ \vec{j}|| = √((-sinφ)² + cos²φ) = √(sin²φ + cos²φ) = 1

所以整个分母的结果就是R * 1 = R。
再看分子-R sin φ \vec{i} + R cos φ \vec{j}，把它除以R的话，分子里的R和分母的R就约掉了，得到：

(-R sin φ \vec{i} + R cos φ \vec{j}) / R = -sinφ \vec{i} + cosφ \vec{j}

这就和等式右边的结果完全一致了。

总结一下 #

这两个等式的本质都是将原向量归一化为单位向量：

• 第一个向量本身就是单位向量，除以模长1后不变；
• 第二个向量是一个长度为R的向量，除以它的模长R后，就得到了同方向的单位向量。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者sangstar