关于Lang教材中有限可分扩张的域扩张相等性证明问询

首先明确题目内容：

设$k$为域，$k(x_1, \dots, x_n) = k(x)$是$k$的有限可分扩张，$u_1, \dots, u_n$在$k$上代数无关，令$$ w = u_1x_1 + \cdots + u_nx_n, $$$k_u = k(u_1, \dots, u_n)$。求证$k_u(w) = k_u(x)$。已知$k_u(w) \subset k_u(x)$，需证反向包含。

你已经证明的两个结论完全是破题的核心关键，别怀疑，它们直接能帮我们推导出结果：

• $k_u$与$k(x)$的正规闭包$K$在$k$上线性无交
• $[k_u(x) : k_u] = [k(x) : k]$（注：你写的$[k_u(x):k(x)]$应该是笔误，实际应为$[k_u(x):k_u]$，因为$k_u$是$k$的纯超越扩张，和$k(x)$线性无交，扩张次数会保持不变）

接下来咱们一步步推导反向包含：

1. 结合伽罗瓦群与线性无交的性质
   设$d = [k(x):k]$，因为$k(x)/k$是有限可分扩张，它的正规闭包$K/k$是有限伽罗瓦扩张，记伽罗瓦群为$G = \text{Gal}(K/k)$。由于$k_u$和$K$在$k$上线性无交，根据线性无交的基本性质，$Kk_u/k_u$也是伽罗瓦扩张，且$\text{Gal}(Kk_u/k_u) \cong \text{Gal}(K/k)$（限制映射是同构）。

2. 分析$w$的共轭元集合
   对于任意$\sigma \in G$，$\sigma$作用在$x_i$上会得到其共轭元$\sigma(x_i) \in K$，于是$\sigma(w) = u_1\sigma(x_1) + \dots + u_n\sigma(x_n)$。这些$\sigma(w)$都是$w$在$k_u$上的共轭元（因为$Kk_u/k_u$是伽罗瓦扩张，所有共轭元都包含在其中）。

3. 证明$w$的极小多项式次数等于$d$
   假设存在两个不同的$\sigma, \tau \in G$，使得$\sigma(w) = \tau(w)$，那么会得到：
   $$u_1(\sigma(x_1)-\tau(x_1)) + \dots + u_n(\sigma(x_n)-\tau(x_n)) = 0$$
   由于$u_1,\dots,u_n$在$k$上代数无关，结合$k_u$与$K$的线性无交性，$u_1,\dots,u_n$在$K$上也代数无关，因此上述线性组合的系数必须全为0，即$\sigma(x_i) = \tau(x_i)$对所有$i$，这意味着$\sigma|{k(x)} = \tau|{k(x)}$，但$\sigma \neq \tau$是不同的伽罗瓦群元素，矛盾。因此所有$\sigma(w)$（$\sigma$限制在$k(x)$上的不同嵌入）都是互不相同的，共$d$个。

4. 完成反向包含的证明
   $w$在$k_u$上的极小多项式次数就是其不同共轭元的个数，即$d$，而你已经知道$[k_u(x):k_u] = d$。又因为$k_u(w) \subset k_u(x)$，两个域都是$k_u$的$d$次扩张，根据域扩张的基本性质，必然有$k_u(w) = k_u(x)$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Drew Brady