仅含Up/Right移动的两点间路径数计算方法咨询

嘿，我来帮你理清楚这两个问题，其实核心都是基于组合数的基本逻辑，咱们一步步拆解：

一、任意两点$(x_1,y_1)$到$(x_2,y_2)$的路径数计算 #

首先得明确前提条件：只有当$x_2 \geq x_1$且$y_2 \geq y_1$时，才存在仅靠Right（x轴正方向）和Up（y轴正方向）移动的路径；如果不满足这个条件，路径数直接为0。

满足条件的情况下，我们只需要计算相对位移的路径数：

• 向右移动的总步数：$\Delta x = x_2 - x_1$
• 向上移动的总步数：$\Delta y = y_2 - y_1$

整个路径总共要走$\Delta x + \Delta y$步，我们需要从这总步数里挑选$\Delta x$步作为向右移动（剩下的自然就是向上移动），所以路径数就是组合数：
$$\binom{\Delta x + \Delta y}{\Delta x}$$
当然也可以写成$\binom{\Delta x + \Delta y}{\Delta y}$，因为组合数有$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$的性质——这和你已知的从(0,0)到(x,y)的路径数公式本质完全一致，只是把起点从原点平移到了$(x_1,y_1)$，相对位移的计算逻辑没有变。

二、(0,21)到(22,22)的路径数计算 #

直接套用上面的方法就行：

1. 计算相对位移：向右需要走$22 - 0 = 22$步，向上需要走$22 - 21 = 1$步
2. 总步数为$22 + 1 = 23$步，从这23步里选22步走Right（或者选1步走Up），对应的组合数是：
   $$\binom{23}{22} = \binom{23}{1} = 23$$

另外，你提到要算从(0,0)到(22,22)且经过(0,21)的路径数，根据乘法原理，总路径数就是**(0,0)到(0,21)的路径数乘以(0,21)到(22,22)的路径数**，也就是$\binom{21}{0} \times 23 = 1 \times 23 = 23$，结果非常直观。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者kicklog