受限映射的雅可比矩阵计算咨询：含具体映射实例

嘿，咱们把这个问题拆开来一步步看，其实理清逻辑后就很简单了：

第一步：明确限制后的映射形式 #

原映射是$\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$：$(x,y) \mapsto (\cos x, \cos y, \sin y)$，当加上限制条件$y=ax+b$后，新的映射就变成了单输入变量$x$到三维输出的函数，我们可以把它记作：
$$g(x) = \left( \cos x,\ \cos(ax+b),\ \sin(ax+b) \right)$$

第二步：回忆雅可比矩阵的定义 #

对于从$\mathbb{R}^{n$到$\mathbb{R}}m$的映射，雅可比矩阵是一个$m \times n$的矩阵，其中每个元素都是「输出分量对输入分量的偏导数」。这里输入是1维（只有$x$），输出是3维，所以最终的雅可比矩阵是$3 \times 1$的列矩阵。

第三步：逐个计算导数（重点解决$ax+b$的求导问题） #

我们需要分别计算$g(x)$的三个分量对$x$的导数，这里用到链式法则处理含$ax+b$的复合函数：

• 第一个分量：$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$，基础导数直接得出。
• 第二个分量：$\cos(ax+b)$是复合函数，令$u = ax+b$，则$\frac{d}{dx} \cos u = -\sin u \cdot \frac{du}{dx}$。而$\frac{du}{dx} = a$（常数$b$的导数为0，$x$的导数为1，所以$a \times 1 + 0 = a$），代入后得到：$\frac{d}{dx} \cos(ax+b) = -a\sin(ax+b)$。
• 第三个分量：同理，$\sin(ax+b)$的导数是$\cos(ax+b) \cdot \frac{du}{dx} = a\cos(ax+b)$。

第四步：整理成雅可比矩阵 #

把上面三个导数按顺序排成列矩阵，就是最终的雅可比矩阵：
$$J_g(x) = \begin{pmatrix} -\sin x \ -a\sin(ax+b) \ a\cos(ax+b) \end{pmatrix}$$

补充：关于对$ax+b$求导的通用思路 #

不管是偏导还是全导，只要是对$x$求导，$ax+b$的导数就是$a$——线性函数的导数等于斜率，常数项的导数为0。如果是复合函数场景，就像上面的例子，只需要用链式法则：先对中间变量$u=ax+b$求导，再乘以$u$对$x$的导数$a$即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user557