如何证明集合A在映射f下的闭包cl_f(A)=∪ₙ∈ℕAₙ？

别担心，这种集合相等的证明其实有个固定的套路——双向包含法，就是分别证明左边包含右边、右边包含左边，最后就能得出两者相等的结论了。咱们一步步来理清楚：

第一步：证明 $\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \subseteq cl_f(A)$ #

我们可以用数学归纳法来证明每个$A_n$都包含在$cl_f(A)$里，进而它们的并集也包含在闭包中：

• 基础情况：$A_0 = A$，根据闭包的定义，$A \subseteq cl_f(A)$，所以$A_0 \subseteq cl_f(A)$成立。
• 归纳假设：假设对于某个自然数$k$，$A_k \subseteq cl_f(A)$成立。
• 归纳步骤：因为$cl_f(A)$在$f$下是封闭的（闭包的核心性质之一），所以$f[A_k] \subseteq f[cl_f(A)] \subseteq cl_f(A)$。而$A_{k+1} = f[A_k] \cup A_k$，结合归纳假设，显然$A_{k+1} \subseteq cl_f(A) \cup cl_f(A) = cl_f(A)$。
• 由归纳原理，所有$A_n \subseteq cl_f(A)$，因此它们的并集$\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \subseteq cl_f(A)$。

第二步：证明 $cl_f(A) \subseteq \bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n$ #

这里要用到闭包的「最小性」——闭包是所有包含A且在f下封闭的子集里最小的那个。所以只要我们能证明$\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n$是一个包含A且在f下封闭的子集，闭包就必然包含于它：

• 首先，$A = A_0 \subseteq \bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n$，满足「包含A」的条件。
• 其次，证明它在$f$下封闭：任取$x \in \bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n$，那么一定存在某个自然数$m$，使得$x \in A_m$。根据$A_{m+1}$的定义，$f[A_m] \subseteq A_{m+1}$，所以$f(x) \in f[A_m] \subseteq A_{m+1} \subseteq \bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n$。这就说明$f$作用在这个并集里的任意元素上，结果仍然在并集里，即并集是$f$-封闭的。
• 既然$\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n$是包含A且$f$-封闭的子集，而$cl_f(A)$是这类子集中最小的，因此$cl_f(A) \subseteq \bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n$。

第三步：结论 #

因为$\bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n \subseteq cl_f(A)$且$cl_f(A) \subseteq \bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n$，根据集合相等的定义，我们可以得出：
$$cl_f(A) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}A_n$$

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